Прогнозирование на основе эконометрических моделей
является одной из основных задач эконометрики.
Под прогнозированием в эконометрике понимают построение оценки зависимой переменной для таких значений независимых переменных, которых нет в исходных наблюдениях.
Различают точечное прогнозирование и интервальное.
Точечный прогноз это число, значение зависимой переменной, вычисляемое для заданных значений независимых переменных.
Интервальный прогноз это интервал, в котором с заданным уровнем значимости ( с заданной вероятностью) находится истинное значение зависимой переменной для заданных значений независимых переменных.
Рассмотрим парную линейную регрессионную модель и соответствующее выборочное уравнение регрессии . Обозначим через ур истинное значение переменной у для заданного значения независимой переменной хр, т.е. .
Точечным прогнозом для ур является , т.е. чтобы получить точечный прогноз нужно в построенное уравнение регрессии подставить заданное значение независимой переменной.
Ошибкой предсказания ( ) называют разность между прогнозным и истинным значениями независимой переменной.
Можно доказать, что дисперсия ошибки предсказания
. (21)
Из (21) следует, что чем ближе заданное значение независимой переменной к тем меньше дисперсия прогноза и чем больше объем выборки n, тем меньше дисперсия прогноза.
Заменив в (21) дисперсию на ее оценку , извлечем, квадратный корень и получим стандартную ошибку предсказания .
Выберем уровень значимости α и по таблице распределения Стьюдента найдем tкр. Тогда с вероятностью 1- α истинное значение переменной ур будет находится внутри интервала:
Очевидно, что чем ближе к и чем больше n, тем уже доверительный интервал (тем точнее прогноз). Это надо учитывать, выбирая прогнозные значения для независимой переменной.
Нелинейная регрессия.
Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути и их моделирование линейными регрессиями не дает положительного результата.
К регрессиям, нелинейным по переменным относят полиномы различных степеней.:
(1)
, (2)
равносторонняя гипербола , (3)
функции вида (4)
Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной.
К нелинейным по параметрам регрессиям относятся:
степенная: , (8)
показательная , (9)
экспоненциальную . (10)
Нелинейные по параметрам регрессии сводятся к линейным путем логарифмирования.
(8’)
(9’)
(10’)
Для нахождения оценок соответствующих коэффициентов выборочных регрессии для (8’), (9’),(10’) используется МНК при условии, что распределен нормально.
Уравнение нелинейной регрессии также как и линейной дополняются показателями корреляции и детерминации.
Для оценки тесноты связи между переменными рассчитывается индекс корреляции:
(12)
Индекс корреляции (R) меняется от 0 до 1. чем ближе R к 1, тем сильнее нелинейная связь между переменными. Величина
(13)
используется для оценки качества уравнения регрессии. Для проверки значимости индекса детерминации используется F-статистика
n – объем выборки
m – число параметров при независимых переменных.
Так для параболы m=2, а для степенной функции m=1
В экономическом анализе часто используется эластичность функции. Эластичность функции рассчитывается как относительное изменение у к относительному изменению х:
(15)
Эластичность показывает, насколько процентов изменяется функция при изменении независимой переменной на 1 %.
Для степенной функции эластичность представляет собой постоянную величину, равную в, действительно:
Для остальных функций эластичность не является постоянной величиной. Так для линейной функции эластичность , т.е. эластичность зависит от х, поэтому для остальных функций вычисляется средний показатель эластичности, в частности для линейной функции по формуле: