Адекватность. Критерий Дарбина – Уотсона
Проверка адекватности трендовых моделей реальному процессу строится на основе анализа случайной компоненты. В расчетах случайная компонента заменяется остатками, представляющими собой разность фактических и расчетных значений
(2.28)
Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости и подчиняются нормальному закону распределения.
При правильном выборе тренда отклонения от него будут носить случайный характер. В случае если вид функции выбран неудачно, то последовательные значения остатков могут не обладать свойством независимости, т.е. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.
Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является критерий Дарбина – Уотсона. Этот критерий связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка. Его значения определяются по формуле
. (2.29)
Для понимания смысла этой формулы преобразуем ее, сделав предварительное допущение, положив 
. Непосредственное преобразование формулы осуществляется следующим образом:
.
При достаточно большом 
сумма из слагаемых 
значительно превосходит сумму из двух слагаемых 
и поэтому отношением этих величин можно пренебречь. Кроме того, отношение в квадратных скобках в силу того, что 
, можно считать коэффициентном корреляции 
между 
и 
. Таким образом, критерий Дарбина – Уотсона записывается в виде
. (2.30)
Полученное представление критерия позволяет сделать вывод, что статистика Дарбина – Уотсона связывает с выборочным коэффициентом корреляции 
. Таким образом, 
и значение критерия может указывать на наличие или отсутствие автокорреляции в остатках. Причем, если 
, то 
. Если 
(положительная автокорреляция), то 
; если 
(отрицательная автокорреляция), то 
.
Статистически значимая уверенность в наличии или отсутствии автокорреляции определяется с помощью таблицы критических точек распределения Дарбина – Уотсона. Таблица позволяет по заданному уровню значимости 
, числу наблюдений и количеству переменных в модели 
определить два значения: 
– нижняя граница и 
– верхняя граница.
Таким образом, алгоритм проверки автокоррелированности остатков по критерию Дарбина – Уотсона следующий:
1) Построение трендовой зависимости с помощью обычного МНК
;
2) Вычисление остатков
для каждого наблюдения 
( 
);
3) Расчет статистики Дарбина – Уотсона;
4) По таблице критических точек определяются два числа и , и делается вывод в соответствии со следующим правилом:
– существует положительная автокорреляция;
– решение о наличии или отсутствии автокорреляции не принимается;
– автокорреляция отсутствует;
– решение о наличии или отсутствии автокорреляции не принимается;
– существует отрицательная автокорреляция.
Проверка гипотезы
: автокорреляция равна нулю
хорошо иллюстрируется графической схемой на рис. 3.1.
|
Рис. 2.1. Графическая схема проверки автокоррелированности остатков