Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru .

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru . (4.5)

Т.е. величина Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru :

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru . (4.6)

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru , то Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru и, следовательно, Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru . Если автокорреляция остатков отсутствует, то Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru и Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru . Т.е. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru и Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. приложение E) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru и Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru для заданного числа наблюдений Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru , числа независимых переменных модели Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru и уровня значимости Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru . По этим значениям числовой промежуток Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru осуществляется следующим образом:

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru – есть положительная автокорреляция остатков, Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru отклоняется, с вероятностью Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru принимается Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru ;

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru – зона неопределенности;

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru – нет оснований отклонять Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru , т.е. автокорреляция остатков отсутствует;

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru – зона неопределенности;

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru – есть отрицательная автокорреляция остатков, Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru отклоняется, с вероятностью Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru принимается Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru .

Пример. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной модели нашего временного ряда. Исходные данные и промежуточные расчеты заносим в таблицу:

Таблица 4.11

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru
-5,252 27,584
-35,843 -5,252 935,8093 1284,7
-74,183 -35,843 1469,956 5503,1
48,937 -74,183 15158,53 2394,8
-26,946 48,937 5758,23 726,09
60,464 -26,946 7640,508 3655,9
45,124 60,464 235,3156 2036,2
50,244 45,124 26,2144 2524,5
2,361 50,244 2292,782 5,574
-59,229 2,361 3793,328 3508,1
41,431 -59,229 10132,44 1716,5
-68,450 41,431 12073,83 4685,4
69,668 -68,45 19076,58 4853,6
36,078 69,668 1128,288 1301,6
-34,263 36,078 4947,856
-50,143 -34,263 252,1744 2514,3
Сумма -0,002 50,141 84921,85 37911,97

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для данной модели составляет:

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru .

Сформулируем гипотезы: Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru – в остатках нет автокорреляции; Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru – в остатках есть положительная автокорреляция; Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru – в остатках есть отрицательная автокорреляция. Зададим уровень значимости Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru . По таблице значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru и числа независимых параметров модели Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru (мы рассматриваем только зависимость от времени Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru ) критические значения Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru и Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru . Фактическое значение Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru -критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru (1,37<2,24<2,63). Следовательно, нет основания отклонять гипотезу Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона - student2.ru об отсутствии автокорреляции в остатках.

Существует несколько ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.

1. Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака.

2. Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.

3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

Приложение A[6]

Случайные переменные

Наши рекомендации