Зависимость уровня Ферми от концентрации примесей и температуры для невырожденного полупроводника

Полупроводник может содержать как донорную, так и акцепторную примесь. Примеси создают дополнительные энергетические уровни, в том числе и в запрещенной зоне (см. раздел 2.3). Поскольку энергетическое расстояние от этих уровней до границ разрешенных зон существенно меньше (у мелких уровней – величина порядка нескольких kT, т.е. в десятки раз меньше ширины запрещенной зоны), вероятность их ионизации и образования подвижных носителей заряда (электронно-дырочных пар) при тепловом возбуждении оказывается гораздо более высокой, чем в случае собственного полупроводника.

Примеси, создающие мелкие донорные и акцепторные уровни и наиболее часто использующиеся для легирования полупроводника называются основными легирующими примесями. Для каждого полупроводника существует свой набор легирующих примесей, которые являются основными. В кремнии основными легирующими примесями являются:

- донорные – пятивалентные элементы, такие как P, As, Sb; концентрацию доноров обозначим N_d;

акцепторные – трёхвалентные элементы – B, Al, Ga; их концентрация - N_a.

На основании того, какие из примесей являются преобладающими, различают полупроводники n-типа проводимости или p-типа. В полупроводниках n-типа основными носителями являются электроны, а неосновными - дырки. Основные носители в данном случае создаются пятивалентными атомами элемента, принадлежащими V группе периодической системы Менделеева. В полупроводниках p-типа основные носители - дырки, а неосновные - электроны. Здесь свободную дырку создаёт трёхвалентный атом элемента. Зонная диаграмма примесного полупроводника имеет вид:

E n0 EC Ed Nd, nd, pd Ea Na, na, pa EV p0	Раздел 2.3, формулы (2.42), (2.43), (2.46) и (2.47)   ; ;
Рис. 2.13. Зонная структура полупроводника, имеющего примеси как донорного, так и акцепторного типа.

Уровни E_d и E_a оказываются весьма близкими к зоне проводимости и к валентной зоне соответственно (0.01-0.04 эВ). Понятно, поэтому, что получив небольшую порцию энергии, электрон, первоначально находящийся на уровне E_d, попадает в зону проводимости. Аналогичным образом электрон, находящийся в валентной зоне вблизи её потолка, переходит на уровень E_a. В результате таких процессов в зоне проводимости возникают электроны, а в валентной зоне – дырки. При комнатной температуре все примесные атомы оказываются ионизованными.

Для определения положения уровня Ферми в зонной структуре полупроводника используется условие электронейтральности, согласно которому в кристалле суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю.

Для полупроводника с двумя видами примеси уравнение электронейтральности запишется в виде: (2.76)

где N_d⁺ - число ионизованных атомов донорной примеси (отдали электрон в зону проводимости = появление свободного электрона),

N_a^- - число ионизованных атомов акцепторной примеси (взяли электрон из валентной зоны = появление дырки в валентной зоне).

Предположим далее, что N_a=0, т.е. будем рассматривать донорный полупроводник.

Вначале ограничимся областью температур, при которых имеет место лишь ионизация примесных атомов (уровней), а собственная проводимость отсутствует, т.е. p₀=0. В этом случае условие электронейтральности имеет следующий вид:

(2.77)

где

Здесь p_d – количество ионизованных донорных атомов.

n_d – количество электронов, остающихся с атомами донорной примеси (т.е. количество неионизованных донорных атомов).

Тогда (2.78)

Концентрацию ионизованных центров можно определить, используя функцию Ферми-Дирака.

Количество положительно заряженных ионов донорной примеси при тепловом равновесии составляет (раздел 2.3, формула (2.43)):

(2.79)

Тогда из (2.78) и (2.79) можно записать:

(2.80)

где, напомним: - приведённый уровень Ферми, а - приведенный донорный уровень. (т.к. (Е_F-E_d)/kT=(Е_F-E_C+E_C-E_d)/kT=h+e_d)

С другой стороны, для невырожденного полупроводника ранее получали: , откуда: (2.81)

Подставив (2.80) в (2.81) получим уравнение для концентрации электронов в зоне проводимости:

(2.82)

Решив это квадратичное уравнение относительно n₀ (знак (-) отбрасываем, т.к. ) следует:

(2.83)

Это соотношение можно свести к следующему выражению:

(2.84)

Подставим (2.84) в (2.81), прологарифмируем и преобразуем к следующему виду для определения положения уровня Ферми:

(2.85)

Рассмотрим три различных температурных диапазона изменения E_F:

Случай А. При достаточно низкой температуре может быть выполнено неравенство: или, что эквивалентно, (2.86)

Тогда (2.85) легко преобразуется к виду:

(2.87)

Следовательно, при Т=0 уровень Ферми лежит между дном зоны проводимости E_c и примесным уровнем E_d. При повышении температуры уровень Ферми повышается, проходит при некоторой температуре через максимум, затем опускается. При он снова будет находиться посередине между E_c и E_d (ln1=0).

Концентрация электронов при этом будет, как следует из (2.84) и (2.86):

(2.88)

Из (2.88) видно, что при очень низких температурах концентрация электронов определяется концентрацией легирующей примеси в степени (1/2). Кроме того, тангенс угла наклона зависимости от 1/T равен тогда как для собственной концентрации . Т.е. энергия активации .

Здесь уместно отступление: определение энергии активации по зависимости Аррениуса.

Область изменения уровня Ферми с температурой, которая описывается формулой (2.87) является областью слабой ионизации примеси или областью вымораживания носителей заряда. На рисунке 2.14 эта область обозначена цифрой 1 (как на графике изменения E_F, так и на зависимости для n₀).

Рис. 2.14. Изменение положения уровня Ферми (а) и концентрации электронов (б) с температурой для донорного полупроводника.

Случай Б. С ростом температуры, стремиться с 1 (т.к. ), N_c возрастает и может стать больше N_d. Т.е. при увеличении температуры наступает ситуация, когда выполняются неравенства:

, или , или (2.89)

Тогда выражение (2.85) преобразуется к виду:

(2.90)

Так как оно справедливо при , то логарифм в (2.90) меньше нуля поэтому с ростом температуры уровень Ферми удаляется от E_C (опускается). Подставив (2.90) в (2.81) получим значение n₀ для этого случая:

(2.91)

т.е. концентрация электронов не зависит от температуры и равна концентрации примеси, введенной в полупроводник при его легировании. Это означает, что практически вся донорная примесь ионизована. Область температур, при которой имеет место полная ионизация примеси, носит название области истощения примеси (или область полной ионизации примеси). На рис. 2.14 б эта область обозначена цифрой 2.

Заметим, что согласно закону действующих масс . Поскольку в области истощения примеси концентрация основных носителей заряда n₀ остаётся практически постоянной, то концентрация неосновных носителей заряда p₀ должна резко возрастать с температурой, т.к.: (2.92)

Эта закономерность будет иметь место до тех пор, пока нагрев не приведет к выравниванию количества неосновных и основных носителей заряда .

Случай В. При дальнейшем увеличении температуры рост концентрации электронов в зоне проводимости будет осуществляться за счёт перехода электронов из валентной зоны. При некоторой (достаточно высокой) температуре количество неосновных носителей сравнивается с количеством основных, и полупроводник становится собственным.

Пример. Предположим, что для создания p-n-перехода в кремний была введена донорная примесь (например, мышьяк) в концентрации N_d=10¹⁴ cм^-3 (типичная концентрация легирующей примеси при формировании некоторых типов биполярных и полевых транзисторов). При температуре 300 К вся эта примесь оказывается ионизованной. Тогда, принимая во внимание данные рис. 2.10:

n₀=n_i+N_d = 10¹⁰ см^-3+10¹⁴ см^-3 ≈10¹⁴ см^-3, и

p₀=p_i = 10⁶ см^-3,

где n₀ и p₀ – равновесные концентрации электронов и дырок, n_i и p_i – концентрация электронов и дырок, сформированных при ионизации собственных атомов.

Но при увеличении температуры до 600 К:

n₀=n_i+N_d = 6х10¹⁵ см^-3+10¹⁴ см^-3 ≈6х10¹⁵ см^-3, и

p₀=p_i = 6х10¹⁵ см^-3,

т.е. n₀= p₀ = n_i=p_i (!!!) à собственный полупроводник!

Таким образом, при увеличении температуры, даже легированный полупроводник может становиться собственным. Температурные зависимости положения уровня Ферми (формула (2.73)) и концентрации носителей заряда (формулы (2.69) и (2.70)), приведены на рис. 2.14 (область 3).

Температура перехода от области истощения примеси к области собственной проводимости зависит от концентрации примеси для данного полупроводника и от ширины запрещенной зоны при фиксированной концентрации примеси. Из (2.73) и (2.90) после преобразований можно получить:

(2.93)

Из этого выражения можно сделать вывод, что температура перехода к собственной проводимости у донорного полупроводника тем ниже, чем меньше ширина запрещенной зоны и концентрация примеси и чем больше значения эффективных масс носителей заряда.

Как обобщение всего вышеизложенного можно считать иллюстрацию положения уровня Ферми для кремния в зависимости от концентрации примесей и температуры (рис. 2.15). Здесь же приведена и зависимость ширины запрещенной зоны от температуры.

Рис. 2.15. Температурная зависимость положения уровня Ферми в кремниевых образцах с различным уровнем легирования, рассчитанная с учетом температурной зависимости ширины запрещенной зоны.