Сочетания с повторениями

Сочетание с повторениями из n элементов по m(m Î n) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, то есть каждое сочетание из n элементов по m элементов может состоять не только из m различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, два соединения по m элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m будем обозначать символом Формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

(1.6)

Замечание: m может быть и больше n.

Пример 1.4. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

Решение.

,

гдеm>n.

Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.

Перестановки

Перестановками из n элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Число перестановок их n элементов обозначается символом Р_n, это то же самое, что число размещений из nэлементов по nв каждом, поэтому

(1.7)

Пример 1.5. Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления?

Решение.Способы просмотра изданий различаются только порядком, так как число, а, значит, и состав изданий при каждом способе - неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.

По условию задачи n = 6.

Следовательно:

.

Ответ.Издания можно просмотреть издания 720 способами.

Перестановки с повторениями

Число перестановок с повторениями выражается при помощи формулы:

,

(1.8)

где числа повторений.

Пример 1.6. Каким числом способов можно разделить m + n + s предметов на три группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой - n предметов, в третьей - s предметов?

Решение.

Ответ:

Правила комбинаторики

Правило суммы (принцип логического сложения)	Если объект а может быть выбран m способами, а объект b может быть выбран другими n способами (не такими как а), то выбор элемента а или b из объединенной совокупности может быть осуществлен m+n способами.
Правило произведения (принцип логического умножения)	Если объект а может быть выбран m способами и после каждого такого выбора объект b может быть выбран n способами, то выбор пары объектов а и b в указанном порядке может быть осуществлен m∙n способами.

Задачи к теме 1

1. Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требуется выделить 4 из 15 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке?

2. Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 5 кандидатов для выбора на руководящую должность?

3. Руководством риэлтерской фирмы принято решение о необходимости рекламы нового вида услуг. По расчетам отдела рекламы, выделенных средств хватит для того, чтобы поместить объявления только в 7 из 12 городских газет. Сколько существует способов случайного отбора газет для размещения рекламы?

4. Менеджер по персоналу рассматривает кандидатуры 7 человек, подавших заявления о приеме на работу на должность бухгалтера. Сколько существует способов приглашения кандидатов на собеседование в случайном порядке?

5. Расписание одного дня занятий на II курсе состоит из трех пар. В течение семестра студенты изучают 12 дисциплин. Сколько существует вариантов составления расписания занятий на один из дней недели, если в течение дня проводятся занятия по разным дисциплинам?

6. Покупая карточку лотереи “Спортлото”, игрок должен зачеркнуть 5 из 36 возможных чисел от 1 до 36. Если при розыгрыше тиража лотереи он угадает все 5 чисел, то имеет шанс выиграть значительную сумму денег. Сколько возможных комбинаций можно составить из 36 по 5, если порядок чисел безразличен?

7. а) Сколько различных «слов», каждое из которых содержит 6 букв, можно составить из слова «экспертиза»? б) Сколько различных «слов», каждое из которых содержит 10 букв, можно составить из слова «экспертиза»?

8. Распределение пар в первом круге Уимблдонского турнира проводится методом жеребьевки. Сколько комбинаций пар возможно составить, если в турнире участвуют 20 теннисисток?

9. Администрация города объявила тендер на строительство медицинского центра. В конкурсную комиссию поступило 8 запечатанных пакетов со сметами от различных строительных фирм. Сколько существует способов очередности вскрытия пакетов, если они вскрываются конкурсной комиссией в случайном порядке после окончания срока подачи заявок?

10. Для обнаружения нефти на участке необходимо пробурить до 11 скважин. Однако, компания имеет средства для бурения только 6 скважин. Сколько способов отбора шести различных скважин у компании?

11. В Российской Федерации номерной знак автомобиля каждого региона состоит из трех букв и трех цифр. Чему равно общее число возможных номерных знаков региона, если, для его составления используется 12 букв русского алфавита и 10 цифр. Рассмотрите два случая, когда: а) цифры и буквы в номере не повторяются; б) если повторяются?

12. В финале конкурса телевизионных программ по трем номинациям представлены 9 региональных телерадиокомпаний. Сколько существует вариантов распределения призов, если каждая телерадиокомпания может получить призы по нескольким номинациям и по каждой номинации установлены: а) одинаковые призы? б) различные призы?

13. PIN – код пластиковой карты состоит из 4 цифр. Сколько всевозможных комбинаций PIN – кода существует, если: а) цифры в коде не повторяются? б) повторяются?

14. Издательство планирует выпустить в текущем году 6 различных учебников по статистике. Каким количеством способов можно выбрать 30 экземляров, если в библиотеке университета должны быть представлены все виды изданных учебников по статистике?

15. Сколько различных «слов» можно составить из букв слова «колокол»?

16. Код банковского сейфа состоит из 8 цифр. Сколько можно составить различных кодовых комбинаций, если: а) цифры не повторяются? б) цифры повторяются?

17. В мореплавании принято давать сигналы, используя разноцветные флаги. Сколько сигналов можно составить, используя одновременно 8 флагов, из которых 1 красный, 2 синих, 3 зелёных и 2 белых?

18. Фирма планирует приобрести путевки для отдыха 25 сотрудников. Сколько существует вариантов приобретения путевок, если: а) контракт будет заключен с четырьмя пансионатами? б) с двумя пансионатами?

19. Компьютерный ключ к антивирусной программе состоит из 9 цифр. Сколько существует различных вариантов компьютерных ключей, если: а) цифры ключа не повторяются? б) цифры ключа повторяются?

20. В парфюмерном магазине имеется 5 различных косметических наборов. Фирме необходимо приобрести 18 подарков к празднику. Сколько в таком случае существует вариантов выбора подарков?