Показатели безотказности

Подробная версия.

Применение вероятностных схем. Вероятностные параметры оценки надежности и нарушения качества. Расчет последовательных, параллельных и комбинированных схем.

Основные понятия надежности

Надежность – один из показателей качества, однако часто этот показатель является основным, определяющим качество и эффективность продукции, в первую очередь технических объектов. Иногда обеспечение надежности есть главное условие безопасности работы объекта.

Под объектом понимается техническое изделие определенного назначения, например машины, сооружения, аппараты, приборы, их узлы и отдельные детали. Иногда в теории надежности объект рассматривается как система, состоящая из совокупности отдельных элементов, взаимодействующих между собой.

В соответствии со стандартом надежность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

Состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров в пределах, установленных нормативно-технической документацией, называется работоспособностью. Состояние, при котором хотя бы один из указанных параметров не соответствует требованиям, – неработоспособность. Событие, состоящее в нарушении работоспособности, называется отказом. Процесс обнаружения и устранения отказа с целью перевода объекта из неработоспособного состояния в работоспособное называется восстановлением.

Иногда восстановление неработоспособного объекта невозможно или нецелесообразно. Предельное состояние объекта — это такое состояние, при котором дальнейшее применение объекта по назначению должно быть прекращено из-за неустранимого нарушения требований безопасности, неустранимого отклонения заданных параметров за установленные пределы, недопустимого увеличения эксплуатационных расходов или необходимости проведения капитального ремонта.

Продолжительность работы объекта называется наработкой. При работе объекта с перерывами учитывается суммарная наработка. Различают наработку до первого отказа, наработку между отказами и др. Наработка может измеряться как в единицах времени, так и в других единицах, например, циклах, километрах пробега и т.п. Наработка объекта от начала его эксплуатации до достижения предельного состояния называется техническим ресурсом. Срок службы объекта – это календарная продолжительность его эксплуатации от ее начала до наступления предельного состояния.

Надежность – комплексное свойство объекта, включающее его безотказность, ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость.

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого времени или наработки. Основными показателями безотказности являются вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, средняя наработка до первого отказа и другие.

Ремонтопригодность – приспособленность объекта к предупреждению и обнаружению отказов, к восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта. Основные показатели ремонтопригодности – вероятность восстановления, интенсивность восстановления, среднее время восстановления, средняя наработка на отказ (отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа отказов в течение этой наработки), коэффициент готовности (отношение времени, в течение которого объект находится в работоспособном состоянии, к обшей длительности периода) и другие.

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Основные показатели долговечности – средний ресурс, гамма-процентный ресурс (наработка, в течение которой объект не достигает предельного состояния с заданной вероятностью ), средний ресурс до капитального ремонта, средний срок службы и другие.

Сохраняемость – свойство объекта сохранять работоспособное состояние после хранения и (или) транспортировки. Основные показатели сохраняемости – средний срок сохраняемости и гамма-процентный срок сохраняемости.

Показатели безотказности

Предполагается, что отказ – событие случайное, поэтому время работы объекта до первого отказа Т – случайная величина.

Вероятностью безотказной работы (или функцией надежности) называется вероятность события, состоящего в том, что время до первого отказа окажется не ниже некоторой заданной величины t, называемой наработкой до отказа.

(1)

Естественно предположить, что в момент включения объект считается работоспособным: при t = 0 . С увеличением наработки t эта функция убывает до нуля (рис. 1).

Рис. 1. Кривая вероятности безотказной работы

Вероятность того, что отказ произойдет до истечения заданного времени t называется вероятностью отказа. Отказ, очевидно, событие, противоположное работоспособности, поэтому вероятность отказа

. (2)

Нетрудно видеть, что вероятность отказа есть функция распределения случайной величины Т:

.

Если функция дифференцируема, то для характеристики безотказности может использоваться плотность распределения (рис. 1)

. (3)

Учитывая, что

;

соответственно

,

получим

. (4)

(использовано условие нормировки – площадь под кривой распределения равна единице).

Из формулы (4) следует, что вероятность безотказной работы соответствует площади под кривой распределения от заданного момента t до ∞ (на рис.2, б заштрихована). Элемент вероятности – это вероятность того, что случайная величина T примет значение, лежащее в пределах малого участка .

Средняя наработка до отказа есть математическое ожидание времени безотказной работы. Учитывая, что математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле

Рис. 2. Функция (а) и плотность распределения (б)

получим

,

но

,

тогда

, (5)

таким образом, средняя наработка на отказ численно равна площади под кривой вероятности безотказной работы .

Используя формулы для дисперсии непрерывной случайной величины

,

можно по аналогии с (5) получить зависимость для дисперсии времени безотказной работы:

,

откуда

. (6)

Предположим, что событие А = {отказ объекта при }, а событие В = {отказ объекта при }. Вероятность

– это вероятность безотказной работы объекта. Тогда произведение этих событий АВ = {отказ в промежутке }, вероятность этого события

(использовано свойство функции распределения и определение плотности распределения). По формуле умножения вероятностей

,

здесь – вероятность отказа объекта в промежутке при условии, что он не отказал до момента t:

;

эта вероятность пропорциональна отрезку времени dt, а коэффициент пропорциональности

(7)

называется интенсивностью отказов. Отметим, что при , поэтому .

Пример 1

Вероятность безотказной работы изменяется по линейному закону, показанному на графике (рис. 3, а). Найти интенсивность отказов.

Рис. 3. Графики показателей надежности:

а – вероятность безотказной работы; б – плотность распределения;

в – интенсивность отказов

Уравнение прямой вероятности безотказной работы

,

тогда по формуле (3) плотность распределения

,

т.е. постоянна (рис. 3, б).

Интенсивность отказов

;

соответствующая кривая – гипербола, при , при (рис. 3, в).

Выразим надежность через интенсивность отказов

,

.

Интегрируя в пределах от 0 до t и учитывая, что , получим

,

или

, (8)

т.е. получили зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов.

В общем случае, как показывает опыт, график зависимости интенсивности отказов от времени (рис. 4) приближенно может быть представлен состоящим из трех участков: при интенсивность отказов монотонно убывает – это период приработки, когда проявляются дефекты, обусловленные главным образом технологией изготовления объекта, при интенсивность постоянна ( )– это период нормальной эксплуатации объекта; при значения интенсивности снова возрастают – имеют место процессы старения.

Рис. 4. Кривая интенсивности отказов

Кривую интенсивности отказов можно моделировать, используя различные виды распределения наработки до отказа. Наиболее распространенными являются экспоненциальное (рис. 5), нормальное и распределение Вейбулла.

Рис. 5. Показатели надежности при экспоненциальном распределении:

а – вероятность безотказной работы; б – функция распределения;

в – плотность распределения; г – интенсивность отказов

В период нормальной эксплуатации интенсивность отказов практически постоянна: . Подставляя это соотношение в (8), найдем вероятность безотказной работы

;

тогда функция распределения (или вероятность отказов)

– это экспоненциальное распределение; плотность распределения

,

средняя наработка до отказа:

,

дисперсия наработки:

,

с учетом зависимости для средней наработки до отказа вероятность безотказной работы может быть найдена по формуле

. (9)

При использовании нормального распределения для моделирования отказов следует иметь в виду, что в обычном нормальном распределении случайная величина может меняться в промежутке от –∞ до ∞. Наработка до отказа – величина неотрицательная, поэтому используется усеченное нормальное распределение с плотностью

,

где постоянная с определяется из условия нормировки:

.

На практике обычно , тогда , в этом случае – средняя наработка до отказа, – дисперсия наработки. Имеем обычное нормальное распределение с плотностью

.

Функция нормального распределения может быть выражена через табулированную функцию стандартного нормального распределения

.

Вероятность безотказной работы:

. (10)

Используя полученные зависимости, можно выразить и интенсивность отказов (рис. 6). Из графиков видно, что нормальным распределением можно моделировать процессы старения, так как интенсивность отказов возрастает.

Рис. 6. Показатели надежности при нормальном распределении:

а – вероятность безотказной работы; б – функция распределения;

в – плотность распределения; г – интенсивность отказов

В практических расчетах для моделирования процессов старения иногда используется логнормальное распределение, в котором нормально распределенным предполагается логарифм случайной величины Т.

Более универсальным при моделировании отказов различных объектов является распределение Вейбулла (рис. 7). Это распределение можно рассматривать как обобщение экспоненциального распределения: функция распределения Вейбулла

(11)

здесь и – параметры распределения, подбирая которые можно моделировать любой участок кривой интенсивности отказов.

Вероятность безотказной работы:

; (12)

плотность распределения:

(13)

интенсивность отказов:

(14)

Рис. 7. Интенсивность отказов при распределении Вейбулла:

а – вероятность безотказной работы; б – функция распределения;

в – плотность распределения; г – интенсивность отказов

В частности при m = 1 имеем экспоненциальное распределение, при m = 2 – распределение Рэлея ( – наклонная прямая), при m < 1 моделируется участок приработки, при m > 2 – процессы старения.

Пример 2

Наработка изделия до отказа имеет распределение Вейбулла с параметрами и m = 3. Найти вероятность безотказной работы в течение t = 10² ч.

Имеем:

.

Для оценки характеристик надежности по опытным данным проводятся специальные испытания. По результатам испытаний принимается решение о виде распределения времени до отказа, оцениваются вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, средняя наработка до отказа и другие характеристики.

Предположим, что наблюдается работа N однородных объектов, каждое изделие работает до отказа, регистрируются значения времени до отказа . Полученные значения разбиваются на интервалы длиной . Обозначим через количество изделий, отказавших на участке времени , а через – количество изделий, оставшихся работоспособными к моменту времени t. Тогда оценка вероятности безотказной работы:

, (15)

оценка плотности распределения (по гистограмме относительных частот):

, (16)

оценка интенсивности отказов:

(17)

оценка средней наработки до отказа:

Пример 3

Испытано 100 лампочек. 42 перегорели в первые 50 ч. работы, 28 проработали от 50 до 100 ч., 16 – от 100 до 150, 10 – от 150 до 200, 4 – от 200 до 250 ч. Найти оценки характеристик надежности (табл. 2).

Taблица 2

Наработка, ч.	0 – 50	50 – 100	100 – 150	150 – 200	200 – 250
		0,58	0,30	0,14	0,04
	0,0084	0,0056	0,0032	0,0020	0,0008
	0,0084	0,00965	0,01067	0,01429	0,02

ч.

Графики характеристик надежности показаны на рис. 8.

X(t)

Рис. 8. Статистическая оценка показателей надежности:

а – вероятность безотказной работы; б – плотность распределения;

в – интенсивность отказов

По виду гистограммы относительных частот выдвигается гипотеза о виде распределения, проверяемая по одному из критериев согласия. Например, по критерию хи-квадрат вычисляется статистика

,

где k – количество интервалов, – расчетная вероятность попадания случайной величины в данный интервал:

,

где функция распределения вычисляется в соответствии с предполагаемым распределением.

При экспоненциальном распределении

Для оценки параметра учитывается, что для экспоненциального распределения математическое ожидание – величина, обратная параметру , т.е.

.

При нормальном распределении

,

где в качестве оценки дисперсии наработки используется

.

Гипотеза о предполагаемом распределении согласуется с опытом, если вычисленное значение окажется меньше квантили, которое находится по таблице: , где – уровень значимости, а l – количество неизвестных параметров, оцениваемых по выборке (для экспоненциального распределения , для нормального ).

В производственных условиях используют несколько различных типов испытаний на надежность. В зависимости от целей это могут быть определительные испытания, цель которых – оценка показателей надежности, и контрольные испытания для оценки уровня надежности исследуемого объекта. Контрольные испытания проводятся методами выборочного контроля при приемке продукции. В частности, широко используются методы последовательного контроля.

Испытания могут проводиться в лабораторных условиях или в условиях эксплуатации, при нормальной нагрузке и в ужесточенном режиме. Важной проблемой является длительность испытаний, поэтому часто применяют ускоренные испытания. Испытания характеризуются тремя параметрами:

– числом испытываемых изделий (N); в частном случае может испытываться и только одно изделие (N = 1);

– наличием или отсутствием восстановления (замены) вышедших из строя изделий (условное обозначение: М – восстановление, R – замена, U – без восстановления и замены);

– длительностью испытаний (условное обозначение: r – испытание до r-го отказа ( ), T – испытание длительностью Т, ( ) – испытание длительностью, равной , где – момент r-го отказа, Т – заданный промежуток времени.

Соответствующие обозначения планов: [NMr], [NRr], [NUr], [NMT[, [NRT], [NUT], [NM(r, T)], и т.п. В частности, условное обозначение плана испытаний в приведенном выше примере: (N, U, r) при .