Практическое занятие №1. Табличное и графическое представление экспериментальных данных.

Практическое занятие №5. Метод наименьших квадратов.

Практическое занятие №6. Сравнение двух выборок.

Общие подходы к определению достоверности совпадений и различий характеристик экспериментальной и контрольной группы

Одной из задач анализа экспериментальных данных является установление совпадений или различий характеристик экспериментальной и контрольной группы. Для этого выдвигается статистическая гипотеза об отсутствии различий (так называемая нулевая гипотеза Н₀).

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречивую ей гипотезу - гипотезу о значимости различий (так называемая альтернативная гипотеза Н₁).

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэ­тому возникает необходимость проверить ее. Поскольку проверку произво­дят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правиль­ная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том» что будет принята неправильная гипотеза.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях: гипотеза принимается; причем и в действительности она правильная; гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать q. Ее называют уровнем значимости.

Уровнем значимости называется вероятность ошибки, заключающейся в отклонении (не принятии) нулевой гипотезы, когда она верна, то есть вероятность того, что различия сочтены существенными, а они на самом деле случайны.

Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05, 0,010 или 001. Если, например, принят уровень значи­мости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рис­куем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, имеет место противоречащая гипотеза.

Для принятия решений о том, какую из гипотез (нулевую или альтернативную) следует принять, используют решающие правила – статистические критерии. То есть, на основании информации о результатах наблюдений (характеристиках членов экспериментальной и контрольной группы) вычисляется число, называемое эмпирическим значениемкритерия. Это число сравнивается с известным (например, заданным таблично) эталонным числом, называемым критическим значениемкритерия.

Если полученное исследователем эмпирическое значение критерия оказывается меньше или равно критическому, то принимается нулевая гипотеза – считается, что на заданном уровне значимости (то есть при том значении q, для которого рассчитано критическое значение критерия) характеристики экспериментальной и контрольной групп совпадают. В противном случае, если эмпирическое значение критерия оказывается строго больше критического, то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза – характеристики экспериментальной и контрольной группы считаются различными с достоверностью различий (1 – q). [Н]

6.2 Примеры определения достоверности совпадений и различий для экспериментальных данных по различным методикам

Практическое занятие №1. Табличное и графическое представление экспериментальных данных.

1.1 Основные понятия и определения

Исследование - это подготовка, проведение эксперимента и обработка выходных данных.

Объект исследования – объект любого характера, который изучается экспериментальным путём.

Эксперимент – специальным образом спланированная и организованная процедура изучения объекта исследования, при которой на этот объект оказывается запланированное воздействие и регистрируется его реакции на это воздействие.

Факторы – воздействие на предмет (x₁ , x₂ , x₃ , x_4…).

Отклонением объекта исследования называют его реакции на воздействие (y_g) .

Эксперимент состоит из ряда опытов или наблюдений, при которых каждый из факторов x₁ , x₂ , x₃ … имеет разные значения.

Экспериментальные данные – все входящие и исходящие данные эксперимента, сведённые в таблицу экспериментальных данных.

Основным рабочим инструментом обработки и эксперимента является число.

Способы получения численных данных:

1. подсчёт;

2. измерение;

3. метод экспериментальных оценок.

Генеральная совокупность – совокупность всех мыслимых значений наблюдений, которые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий (или, вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью).

Число элементов в генеральной совокупности называется объемом генеральной совокупности (обозначается N).Относительно N, как правило, делается предположение, что он бесконечно велик, т. е. выборка получается из бесконечной генеральной совокупности.

Генеральная совокупность называется конечной (бесконечной) в зависимости от того конечная (бесконечная) совокупность всех наблюдений.

Та часть объектов, которая попала на исследование, называется выборочной совокупностью (или просто выборкой).

Число элементов в выборке называется объемом выборки (обозначается n).

Эмпирические данные - сведения, полученные на основе опыта, практики.

Выборочные данные, полученные в ходе эксперимента, называются соответственно экспериментальными (эмпирическими) данными.

Эмпирическое распределение – распределение элементов выборки по значениям изучаемого признака.

Экспериментальные данные можно представить в виде группированного или вариационного рядов.

Группировка представляет собой процесс систематизации, или упорядочения, первичных данных с целью извлечения содержащейся в них информации.

Группировка выполняется различными методами в зависимости от целей исследования, вида изучаемого признака и количества экспериментальных данных (объема выборки), но наиболее часто группировка сводится к представлению данных в виде статистических таблиц.

Группировки заключается в распределении вариант выборки по группам, или интервалам группировки, каждый из которых содержит некоторый диапазон значений изучаемого признака.

Вариационный ряд – ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотой). То есть вариационный ряд – двойной числовой ряд, показывающий, каким образом численные значения изучаемого признака связаны с их повторяемостью в выборке.

Вариационные ряды бывают двух типов: интервальные и безинтервальные.

В интервальном вариационном ряду частоты (или частости), характеризующие повторяемость вариант в выборке, распределяются по интервалам группировки.

В безинтервальном вариационном ряду частоты (или частости) распределяются непосредственно по значениям варьирующего признака.

Для повышения наглядности эмпирических распределений, используется их графическое представление. Наиболее распространенными способами графического представления являются гистограмма, полигон частот и полигон накопленных частот (кумулята).

Гистограммой называется графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки (диапазона значений показателя).

Гистограмма является эмпирическим аналогом функции плотности распределения .

Полигон частот образуется ломаной линией, соединяющей точки, соответствующие средним значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов, средние значения откладываются по оси х, а частоты – по оси у.

Полигон накопленных частот (кумулята) получается при соединении отрезками прямых точек, координаты которых соответствуют верхним границам интервалов группировки и накопленным частотам. Если по оси ординат откладывать накопленные частоты, то полученный график называется полигоном накопленных частот.

1.2 Построение эмпирических функций распределения и плотности на примере

Пример: Дана выборка n=20 (Таблица 1.1). Построить графики эмпирических функций распределения и плотности.

Таблица 1.1 – Таблица значений выборки

№ значения выборки	Значения выборки (х)	№ значения выборки	Значения выборки (х)
	9,81		6,72
	2,34		5,15
	6,55		0,34
	0,15		2,23
	8,63		4,85
	7,11		5,01
	1,57		4,15
	2,34		1,11
	5,55		2,48
	0,99		4,44

1. Представим выборку в виде вариационного ряда, где C_n ≤ C_n+1:

Таблица 1.2 – Таблица значений выборки в виде вариационного ряда

№ значения выборки	Значения выборки (х)	№ значения выборки	Значения выборки (х)
	0,15		4,44
	0,34		4,85
	0,99		5,01
	1,11		5,15
	1,57		5,55
	2,23		6,55
	2,34		6,72
	2,34		7,11
	2,48		8,63
	4,15		9,81

2. Используя значения выборки, построим группированный ряд наблюдений.

2.1 Определим min и max значения выборки:

х_min = 0,15 х_max = 9,81

2.2 Разобьем весь диапазон [х_min, х_max] на k равных интервалов, где количество интервалов рассчитывается по формуле (1.1). Результат округляем до ближайшего целого числа.

, (1.1)

где n – число элементов в выборке.

Получаем:

2.3 Определим ширину интервала по формуле (1.2). Результат вычисления округляем до ближайшего целого.

, (1.2)

где х_min – минимальное значение выборки;

х_max – максимальное значение выборки;

k – количество интервалов.

Получаем:

2.4 Определим крайние точки каждого интервала C₀, C₁, C₂…, при этом можно пользоваться различными способами, например:

1) если C₀ = х_min, тогда:

C₁= х_min+∆ C₂= х_min+2·∆ и т.д.

2) если C₀= х_min - ∆/2, получаем:

C₀= х_min - ∆/2 C₁= C₀+∆ C₂= C₁+∆ и т. д.

3) по формуле (1.3) находим середину интервала [х_min, х_max]

(1.3)

Затем от точки С откладываем в обе стороны значение, равное величине ∆.

Воспользуемся первым способом и определим крайние точки каждого интервала:

C₀= х_min= 0,15

C₁= х_min+∆ = 0,15+2 = 2,15

C₂= х_min+2·∆ = 0,15+2·2 = 4,15

C₃= х_min+3·∆ = 0,15+3·2 = 6,15

C₄= х_min+4·∆ = 0,15+4·2 = 8,15

C₅= х_min+5·∆ = 0,15+5·2 = 10,15

C₆= х_min+6·∆ = 0,15+6·2 = 12,15

2.5 Зная крайние точки каждого интервала, определим их середину по формуле (1.4)

, (1.4)

где n – номер интервала.

Получаем:

2.6 Определим частоту для каждого интервала (число выборочных данных попавших в каждый из интервалов).

Так как значения могут совпадать с границами интервалов, условимся в каждый k-ый интервал включать наблюдения большие или равные, чем нижняя граница интервала и меньше верхней границы, т,е. C_k-1 ≤ х < C_k.

Общее число наблюдений, отнесённое к k-му интервалу равно частоте ν_k данного интервала. Причём сумма частот всех интервалов ( ) не должна превышать общего числа элементов в выборке.

Накопленная частота для каждого интервала равна сумме частот (k – 1) и k интервалов.

Подсчитаем частоту и накопленную частоту для каждого интервала. Все расчеты сведем в таблицу 1.3.

Таблица 1.3 – Расчет частот для каждого интервала

k	(Ck, - Ck+1)
	(0,15 – 2,15)	1.15
	(2,15 – 4,15)	3.15
	(4,15 – 6,15)	5.15
	(6,15 – 8,15)	7.15
	(8,15 – 10,15)	9.15
	(10,15 – 12,15)	11.15

2.7 Вычислим эмпирический аналог функции плотности для каждого из интервалов (C_k,C_k+1) по формуле (1.5)

, (1.5)

где ∆ - ширина интервала,

n - число элементов в выборке,

- частота k интервала.

Для нашего примера:

3 Вычислим эмпирическую функцию распределения для каждого из интервалов (C_k, C_k+1) по формуле (1.6).

, (1.6)

где - накопленная частота k интервала

Для нашего случая:

4 Для дальнейшего удобства построения гистограммы и для всеобщей наглядности сведём все полученные нами ранее расчеты в сводную таблицу (Таблица 1.4)

Таблица 1.4 – Сводная таблица полученных данных

k	(Ck - Ck+1)
	(0,15 – 2,15)	1,15			0,125	0,25
	(2,15 – 4,15)	3,15			0,1	0,45
	(4,15 – 6,15)	5,15			0,15	0,75
	(6,15 – 8,15)	7,15			0,075	0,9
	(8,15 – 10,15)	9,15			0,05
	(10,15 – 12,15)	11,15			-

5 Для построения гистограммы (рисунок 1.1) на оси абсцисс откладываем крайние точки каждого из интервалов C₀, C₁, C₂…, а по оси ординат – эмпирический аналог функции плотности , тогда k-му интервалу будет соответствовать прямоугольник, основанием которого является замкнутый слева интервал [ С_k-1,C_k), а высота равна .

Если на верхних гранях полученных прямоугольных областей отложить точку середины каждого интервала и соединить полученные точки, то получим ломаную линию называемую полигоном.

6 Геометрическое представление эмпирической функции распределения называют кумулятивной прямой или кумулятой.

Для этого на оси абсцисс откладывают границы интервалов C₀, C₁, C₂…, а по оси ординат – значения функции распределения . Причём, значение функции распределения относят к верхней C_k границе k-ого интервала (рисунок 1.2).

Рисунок 1.1 – Гистограмма и полигон распределения признака

Рисунок 1.2 – Эмпирическая функция распределения