Метод моментов. Несмещенная оценка дисперсии.
является смещенной состоятельной оценкой дисперсии δ2
Несмещенная состоятельная оценка дисперсии
1) Метод подстановки
αk = α*k =
µk = µ*k=
X ~ R (a;b)
2) Метод моментов
X ~ f (x, Θ1, Θ2, …, Θk)
Θ1, Θ2, …, Θk - параметры
Система k-уравнений: α1=M[X]= α*1
k-моментов
Определение параметров равномерного распределения.
следовательно, метод моментов
следовательно, a+b =
4. Распределение Хи-квадрат, Стьюдента и Фишера, их определения, свойства и применение при нахождении доверительных интервалов и проверке стат. гипотез.
Распределения основных статистик, вычисляемых по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности, связаны с распределением , Стьюдента T (k) и Фишера F (k1,k2).
Распределение χ2 (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение случайной величины , равной сумме квадратов k независимых нормально распределенных по закону N (0,1) случайных величин Ui, i=1,2,...,k, то есть распределение сл. величины .
Параметр — число степеней свободы.
M[ ]=k
D[ ]=2k
Свойства: 1)Uk~N(0,1)
1) Uk – независимые
~ N (k, 2k) k ∞
Плотность распределения, если x>0
Если x ≤0, то 0.
Квантили
Распределение Стьюдента — распределение сл.в. T(k), равной отношению двух независимых случайных величин U и , то есть .
U~ - независимая случайная величина
U~N (0,1)
Свойство: Распределение Стьюдента симметрично. В частности имеет место соотношение
M [ ]=0 D [ ] = k/k-2
Плотность распределения
Квантили
Распределение Фишера — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
F(k1,k2)=
X (распределение ген.совокупности) ~N(m, δ^2/n)
M [F]=k2/k2-2
D [F] =
Свойства: 1)Если F~F(k1,k2), то 1/F ~ F(k2,k1). 2)Распределение Фишера сходится к единице.
Плотность распр. (n=k1, m=k2)
Квантили
Доверительный интервал для параметра θ называется интервал (θ1, θ2), содержащий (накрывающий) истинное значение θ с заданной вероятностью p=1-α, то есть P [θ1<θ<θ2]=1-α. Число 1-α называется доверительной вероятностью, а α- уровнем значимости. Один из методов построения доверительных интервалов состоит в следующим. Предположим, что существует статистика Y=Y( ) такая, что а) закон распределения Y известен и не зависит от θ. б) функция Y=Y( ) непрерывна и строго монотонна по θ.
Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Примерами статистических гипотез являются предположения: о виде закона распределения и параметрах двух распределений. Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н0. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н1. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза. Принятие или отклонение гипотезы Н0 по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью a тогда, когда отвергается верная гипотеза Н0 и принимается конкурирующая гипотеза Н1. Ошибка второго рода возникает с вероятностью b в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н0, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н1. Множество S0 называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S1 – областью отклонения гипотезы или критической областью. При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.