Доверительный интервал для математического ожидания

Нормальной генеральной совокупности.

Пусть по выборке объемом n из генеральной совокупности определены выборочное среднее значение m^* и выборочное среднее квадратическое отклонение s. Кроме того задана требуемая надежность g.

Пусть также известно, что для выборки объема n из нормальной генеральной совокупности случайная величина:

(8.5.1)

распределена по закону Стьюдента.

Здесь:

- выборочное среднее (найденное по выборке);

s – выборочное среднее квадратическое отклонение;

m – истинное значение математического ожидания генеральной совокупности (измерений) при нормальном законе распределения случайной величины;

n – объем выборки.

Вероятность того, что математическое ожидание m входит в интервал, ограниченный значениями (8.5.1) равна:

(8.5.2)

где f_n-1(x) – плотность распределения вероятностей Стьюдента (функция четная);

F_n-1(x) – функция распределения случайной величины по закону Стьюдента с n-1 степенями свободы.

По таблице распределения Стьюдента (Приложение 8.2) с n-1 степенями свободы находим квантиль порядка и получаем искомый доверительный интервал для m:

где W(A) – вероятность реализации события А.

Пример 8.5.1.

Произведено n=30 измерений концентрации газа в резервуаре перед его очисткой. Сделано предположение о нормальном распределении результатов измерений в генеральной совокупности. Выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение соответственно равны:

,

Требуется с достоверностью 0.95 определить интервал значений истинного математического ожидания концентрации газа в резервуаре.

Решение.

По таблице распределения Стьюдента (Приложение 8.2) находим квантиль порядка 0.975 для 29 степеней свободы:

Тогда значение искомого математического ожидания с требуемой надежностью находится в интервале:

Или вероятность того, что равна 0.95.

8.6. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормальной генеральной совокупности.

Если произведена выборка объемом n из генеральной совокупности, где по предположению случайная величина распределена по нормальному закону, вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение s и задана требуемая надежность g, то соответствующий доверительный интервал, в котором содержится среднее квадратическое отклонение s, может быть определен с помощью c² – распределения (Приложение 8.4) с n-1 степенями свободы порядков (1-g)/2 и (1+g)/2:

(8.6.1)

Замечание. В знаменателе под знаком радикала не произведение c² на (n-1), а c² с (n-1) степенями свободы.

Пример 8.6.1.

По исходным данным примера 8.5.1 найти истинное среднее квадратическое отклонение концентрации газа в резервуаре.

По таблице распределения c² находим соответствующие квантили:

Вычисляется доверительный интервал:

где W(А) – вероятность реализации события А.