Интервальная оценка вероятности события

"Хорошей" точечной оценкой вероятности р события А является частость , где n - общее число испытаний, а событие А может произойти с вероятностью р или не произойти с вероятностью q=1-p(последовательность испытаний Бернулли).

Интервальная оценка для р задается в виде

P(p₁<p<p₂)=1-α,

где (p₁, p₂) - границы интервала для вероятности р, отвечающие надежности 1-α, α - уровень значимости.

Интервальная оценка зависит от объема выборки n.

Интервальная оценка вероятности для большого числа испытаний Бернулли. Так как А - случайное событие, то m - число появлений А в n испытаниях - тоже случайно.

При выполнении условий (грубых), что n порядка нескольких десятков, а np>10, распределение величины m в силу локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа близко к нормальному распределению с математическим ожиданием, равным np, и дисперсией, равной npq, т. е.

.

При делении m на n его распределение не изменяется, изменяются только его параметры. Поэтому при большом n распределение частости , так же как и распределение частоты m, близко к нормальному, но с математическим ожиданием

(2.45)

и дисперсией

.

(2.46)

Таким образом, при большом числе n испытаний Бернулли и распределение величины близко к нормальному с нулевым математическим ожиданием и нулевой дисперсией.

Из условия

(2.47)

определяются границы в виде

;

(2.48)

.

(2.49)

Отсюда получается, что частость определяет значение неизвестной вероятности с точностью

.

Интервальная оценка вероятности при малом числе n испытаний Бернулли

Законом распределения числа Х события А в n испытаниях в данном случае является биномиальный закон распределения, т. е. вероятность

При доверительной вероятности вероятность

P = (p1 < p < p2) = γ.

(2.50)

Так как при p≠0.5 и n малом биномиальное распределение несимметрично, то в качестве доверительного интервала для р берут такой интервал (p₁,p₂), что вероятность попадания левее p₁ и правее p₂ одна и та же и равна :

(2.51)

где - фактическое число элементов выборки, обладающих интересующим признаком.

Решение таких уравнений упрощается, если использовать таблицы для нахождения p₁ и p₂ по заданным n, n-m, γ.

Определение объема выборки

Выбор совок-тью или просто выборкой, наз. совок-ть случ отобр объектов. Ген. совок-тью наз. совок-ть объектов, из кот. произв-ся выборка. Объемом совок-ти (выборочной или генеральной) наз. число объектов этой совок-ти. При составл выб можно поступать двояко: после того, как объект отобран и над ним произвед наблюд, он может быть возвр, либо не возвр в ген. совок-ть. В соот-вии с этим, выборки подраздел на повторн и бесповторн.

Для опред необх объема выборки, при кот с заданн вер-ю γ можно утвержд, что выборочн средняя отлич-ся от генерального по абсолютн величине меньше чем на δ, используют формулы:

а) в случае известной дисперсии: n=(t_γ²σ²)/δ², где Ф(t_γ)= γ

б) в случае неизвестн дисперсии организуют специальную «пробную» выборку небольш объема, находят оценку S², и полагая, что σ²≈S² , находят объем «основной» выборки: n=(t_γ²S²)/δ²