Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте

Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте, используя формулу:

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Если n достаточно велико и р не очень близка к нулю и единице, то можно считать, что относительная частота распределена приближенно по нормальному закону, причем М(W)= р. Заменив Х на относительную частоту , математическое ожидание - на вероятность, получим равенство:

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Приступим к построению доверительного интервала (р1, р2), который с надежностью  покрывает оцениваемый параметр р Потребуем, чтобы с надежностью g выполнялось соотношение указанное выше равенство:

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Заменив

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru ,

получим:

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Таким образом, с надежностью g выполняется неравенство (чтобы получить рабочую формулу, случайную величину W заменим неслучайной наблюдаемой относительной частотой w и подставим 1- р вместо q):

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Обе части неравенства положительны; возведяих в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р:

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому корни действительные и различные:

меньший корень

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

больший корень:

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Замечание1: При больших значениях n , пренебрегая слагаемыми

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

учитывая

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

получим приближенные формулы для границ доверительного интервала :

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru

Пример1. Производят независимые испытания с одинаковой и неизвестной вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

По условию n =80, m=16,  =0,95. Относительная частота

Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте - student2.ru .

Из соотношения Ф(t)=0,95/2 = 0,475 по таблице находим t = 1,96. Т.к. n<100, то используем точные формулы, получим : р1= 0,128, р2= 0,299.

Замечание 2: Если n мало, то используем для определения концов доверительного интервала вероятности события при биноминальном распределении "Таблицу доверительных границ р1 и р2". Значения р1 и р2 находят в зависимости от n и m.

Пример. В пяти независимых испытаниях событие А произошло 3 раза. Найти с надежностью 0,95 интервальную оценку для вероятности события А в единичном испытании.

По условию задачи n=5, m=3. Имеет место схема повторных испытаний. Используя таблицу, находим доверительный интервал : 0,147<p<0,947.

Контрольные вопросы

1. Определение статистической оценки неизвестного параметра.

2. Какая оценка называется точечной?

3. Каким требованиям должны удовлетворять статистические оценки?

4. Сформулировать определения генеральной средней и генеральной дисперсии.

5. Записать выражения для вычисления выборочной средней, выборочной дисперсии и исправленной дисперсии. Какая из этих оценок не является несмещенной?

6. Методики вычисления границ доверительного интервала для оценки математического ожидания нормально распределенной СВ при известном и неизвестном .

7. Методика вычисления границ доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ.

8. Доверительный интервал вероятности биноминального распределения по относительной частоте при больших n , при n<100.

Наши рекомендации