Статистические и стратегические игры

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР

Статистические и стратегические игры

Специфическим видом игр, имеющих большое значение при анализе и принятии решений в условиях частичной неопределенности, являются статистические игры. Эти игры существенно отличаются от так называемых стратегических игр, в которых предполагается, что интересы игроков прямо противоположны, и каждый из них стремится максимизировать свой выигрыш. То есть каждый из игроков действует активно и стремится использовать оптимальные стратегии.

В статистической же игре один из игроков оказывается нейтральным, то есть не стремится извлечь для себя максимальной выгоды и не заинтересован в выигрыше. К таким играм относятся игры, в которых в качестве одного из игроков выступает природа (игрок-природа). Другого игрока при этом называют статистиком (игроком-статистиком, или просто игроком).

Следовательно, основными отличиями статистических игр от стратегических являются:

а) отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, то есть отсутствие антагонистического противника;

б) возможность проведения игроком-статистиком статистического эксперимента для получения дополнительной информации о стратегиях игрока-природы.

Теоретически статистик имеет возможность проведения неограниченного эксперимента, который может сделать его знания о природе сколь угодно полными, что позволит игроку действовать уже в условиях полной определенности. Однако проведению такого эксперимента могут помешать, по крайней мере, два обстоятельства:

1) На проведение эксперимента требуется время, которого может и не быть, особенно когда решение надо принимать немедленно.

2) Стоимость эксперимента может превысить величину выигрыша, которую дают дополнительные знания, полученные в результате эксперимента.

Поэтому важной задачей статистика является и само принятие решения о проведении эксперимента - о необходимости и возможности проведения эксперимента, и об объеме исследований.

Таким образом:

1) Игры, в которых один из игроков - природа, называются статистическими.

2) Теория таких игр называется теорией статистических решений.

3) Теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки их результатов, и последующего их применения для принятия решений.

Примеры статистических игр

№ 3.1.(Задача о замене оборудования). Установленное на предприятии сложное и дорогое оборудование после нескольких лет работы может оказаться в одном из трех состояний: Статистические и стратегические игры - student2.ru - оборудование вполне работоспособно и требует лишь небольшого текущего ремонта; Статистические и стратегические игры - student2.ru - оборудование работоспособно, но некоторые детали значительно износились и требуют серьезного ремонта или даже замены; Статистические и стратегические игры - student2.ru - дальнейшая эксплуатация оборудования невозможна.

Прошлый опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что в 20% случаях оно может находиться в состоянии Статистические и стратегические игры - student2.ru , в 50% случаях - в состоянии Статистические и стратегические игры - student2.ru , и в 30% - в состоянии Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Для предприятия возможны три различных варианта действия: Статистические и стратегические игры - student2.ru - оставить оборудование в работе еще на один год, проведя незначительный ремонт своими силами; Статистические и стратегические игры - student2.ru - провести капитальный ремонт оборудования с вызовом специальной бригады ремонтников; Статистические и стратегические игры - student2.ru - заменить оборудование новым.

Требуется найти байесовское оптимальное решение действий предприятия при следующей матрице потерь:

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Решение. Вычислим средние потери предприятия:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Тогда байесовское решение дает нам стратегия Статистические и стратегические игры - student2.ru , так как

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Ответ: Статистические и стратегические игры - student2.ru .

№ 3.2.(Задача о технологической линии). На технологическую линию может поступить сырье с малым Статистические и стратегические игры - student2.ru и с большим Статистические и стратегические игры - student2.ru количеством примесей. Известно, что в среднем поступает 60% сырья первого вида и 40% сырья второго вида. Для использования различных видов сырья предусмотрены три режима работы технологической линии: Статистические и стратегические игры - student2.ru , Статистические и стратегические игры - student2.ru и Статистические и стратегические игры - student2.ru . Потери, отражающие качество выпускаемой продукции и расходы сырья, в зависимости от качества сырья и режима работы технологической линии, имеют вид:

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Требуется найти байесовское оптимальное решение.

Решение. Вычислим средние потери:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Тогда оптимальной является чистая стратегия Статистические и стратегические игры - student2.ru , так как

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Ответ: Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Принцип минимакса

Согласно этого принципа, статистик выбирает ту стратегию Статистические и стратегические игры - student2.ru , при которой его средние потери Статистические и стратегические игры - student2.ru будут наименьшими при наихудшем для него состоянии природы, то есть

Статистические и стратегические игры - student2.ru (3.7)

Следовательно, мы можем достаточно просто найти решение статистической игры без эксперимента сведением этой задачи к задаче линейного программирования.

№ 3.4.Найти минимаксную стратегию в задаче о технологической линии.

Решение. Построим графики функций потерь Статистические и стратегические игры - student2.ru и Статистические и стратегические игры - student2.ru для отрезков Статистические и стратегические игры - student2.ru и Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru

5 3 Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru

3 2

1 1 Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru

0 1 Статистические и стратегические игры - student2.ru 0 1 Статистические и стратегические игры - student2.ru

Рис. 3.3 Статистические и стратегические игры - student2.ru . Рис. 3.4 Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Значения Статистические и стратегические игры - student2.ru выделим на рисунке жирными линиями. Тогда минимум этой величины достигается на рис.3.3 при Статистические и стратегические игры - student2.ru , и равен 3, а на рис.4 определяется точкой пересечения прямых как:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

то есть достигается при Статистические и стратегические игры - student2.ru , и равен Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Таким образом, принцип минимакса дает точку на отрезке Статистические и стратегические игры - student2.ru , соответствующую Статистические и стратегические игры - student2.ru , и определяет смешанную стратегию

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

при которой потери статистика будут не больше Статистические и стратегические игры - student2.ru ед. при любой стратегии природы.

Иногда выбирают стратегию исходя из так называемых дополнительных потерь:

Статистические и стратегические игры - student2.ru . (3.8)

Величина Статистические и стратегические игры - student2.ru определяет те минимальные потери, которые несет статистик даже при своем наилучшем решении (для каждого возможного состояния природы). В этом случае выбор стратегии может осуществляться по принципу минимакса дополнительных потерь.

№ 3.5.Найти минимаксную стратегию в задаче о технологической линии, исходя из дополнительных потерь.

Решение. Так как при Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru , а при Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru , то матрица дополнительных потерь примет вид:

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Применим принцип минимакса графически. Для этого построим сначала выпуклую оболочку Статистические и стратегические игры - student2.ru :

Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru

0 1 3 Статистические и стратегические игры - student2.ru

Рис. 3.5

Спроектируем отрезок Статистические и стратегические игры - student2.ru на оси координат и получим следующие выражения для функции дополнительных потерь:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Для отрезка Статистические и стратегические игры - student2.ru получаем аналогично:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Построим графики дополнительных потерь:

Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru

3 3

1 1

0 1 Статистические и стратегические игры - student2.ru 0 1 Статистические и стратегические игры - student2.ru

Рис.3.6 Статистические и стратегические игры - student2.ru . Рис. 3.7 Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Тогда на рис. 3.6 минимум от максимума дополнительных потерь достигается при Статистические и стратегические игры - student2.ru , равен 1, и получаем чистую стратегию Статистические и стратегические игры - student2.ru . Для рис.3.7 получаем Статистические и стратегические игры - student2.ru , Статистические и стратегические игры - student2.ru и стратегию Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Следовательно, оптимальной является чистая стратегия Статистические и стратегические игры - student2.ru , и минимаксные дополнительные потери равны 1 ед.

Минимаксные принципы исходят из предположения о том, что природа действует наихудшим для статистика образом, и поэтому выражают точку зрения ЛПР, не расположенного к риску. Недостатком этих методов является и то, что они не учитывают априорной информации о состояниях природы, что ограничивает возможный выигрыш статистика. Поэтому минимаксные принципы можно рекомендовать в случае отсутствия априорной информации о состояниях природы, или если есть веские основания сомневаться в достоверности такой информации.

Отметим также, что принцип минимакса дал разные результаты для полных и дополнительных потерь. Это происходит, в частности, потому, что статистик может компенсировать необходимые потери Статистические и стратегические игры - student2.ru тем или иным образом, например, установлением соответствующих цен на производимую продукцию. Поэтому он может их и не учитывать при выборе оптимальной стратегии.

Байесовский принцип

Другим принципом выбора стратегии является байесовский, который учитывает априорное распределение вероятностей состояний природы Статистические и стратегические игры - student2.ru . Согласно этому принципу, смешанную стратегию Статистические и стратегические игры - student2.ru статистика оценивают усреднением потерь Статистические и стратегические игры - student2.ru по всем возможным состояниям природы, то есть по величине:

Статистические и стратегические игры - student2.ru . (3.9)

Наилучшей стратегией Статистические и стратегические игры - student2.ru при этом будет та, которая минимизирует величину (9), а именно:

Статистические и стратегические игры - student2.ru . (3.10)

Эту стратегию и называют байесовской.

№ 3.6.Найти байесовскую стратегию в задаче о технологической линии, представленной в виде Статистические и стратегические игры - student2.ru - игры.

Решение. Для допустимых стратегий, определяемых отрезком Статистические и стратегические игры - student2.ru , имеем:

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Тогда Статистические и стратегические игры - student2.ru при Статистические и стратегические игры - student2.ru , что соответствует смешанной стратегии Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Для отрезка Статистические и стратегические игры - student2.ru получаем:

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Тогда Статистические и стратегические игры - student2.ru при Статистические и стратегические игры - student2.ru , что соответствует той же смешанной стратегии Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Следовательно, байесовской стратегией является чистая стратегия Статистические и стратегические игры - student2.ru с оптимальным значением потерь 1,8 ед.

Ответ: Статистические и стратегические игры - student2.ru ; Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Постановка задачи

Особенностью статистической игры является возможность проведения эксперимента с целью расширения и уточнения знаний о состояниях природы. И возможность проведения эксперимента чрезвычайно расширяет класс возможных стратегий статистика.

Прежде всего, статистик должен принять решение о том, проводить или не проводить эксперимент. В случае положительного ответа на этот вопрос, он должен далее решить:

а) каким должен быть этот эксперимент;

б) сколько следует провести испытаний, чтобы считать эксперимент законченным;

в) какие предпринять действия при тех или иных исходах эксперимента.

Предположим, что статистик принял решение о проведении единичного эксперимента, под которым будем понимать такой эксперимент, объем и порядок проведения которого заранее определены.

Так, если надо проверить, является ли данная монета симметричной, можно провести единичный эксперимент, состоящий в бросании монеты Статистические и стратегические игры - student2.ru раз. При этом пространство исходов этого эксперимента состоит из Статистические и стратегические игры - student2.ru элементов вида:

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Например, для определения вероятности выпадения герба при одном бросании монеты, Пирсон провел эксперимент, состоящий из 24000 бросаний монеты. То есть пространство возможных исходов эксперимента состояло из Статистические и стратегические игры - student2.ru элементов.

Пространство выборок

Обозначим пространство исходов эксперимента через Статистические и стратегические игры - student2.ru , а элементы этого пространства как Статистические и стратегические игры - student2.ru . Тогда на пространстве Статистические и стратегические игры - student2.ru можем определить условное распределение вероятностей Статистические и стратегические игры - student2.ru :

Статистические и стратегические игры - student2.ru , Статистические и стратегические игры - student2.ru , Статистические и стратегические игры - student2.ru , (3.11)

где Статистические и стратегические игры - student2.ru - условная вероятность того, что исходом эксперимента будет Статистические и стратегические игры - student2.ru при данном состоянии природы Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Совокупность трех элементов: пространства исходов эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru , пространства состояний природы Статистические и стратегические игры - student2.ru и распределения вероятностей Статистические и стратегические игры - student2.ru называют пространством выборок:

Статистические и стратегические игры - student2.ru . (3.12)

Пространство выборок удобно задавать в виде таблицы, содержащей распределение вероятностей Статистические и стратегические игры - student2.ru на прямом произведении множеств Статистические и стратегические игры - student2.ru .

№ 3.7.Рассмотрим задачу о технологической линии и предположим, что эксперимент заключается в грубом предварительном анализе содержания примесей. Точный лабораторный анализ проводить нецелесообразно, так как это требует значительных затрат времени, а следовательно, и простоя оборудования.

Результаты эксперимента ( Статистические и стратегические игры - student2.ru - примесей не обнаружено, Статистические и стратегические игры - student2.ru - примеси в небольшом количестве, Статистические и стратегические игры - student2.ru - примесей много) представим в следующей таблице:

  Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,60 0,20
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,25 0,30
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,15 0,50

Например, 0,25 - это вероятность того, что при действительном состоянии природы Статистические и стратегические игры - student2.ru (сырье с малым количеством примесей), эксперимент обнаружит их в небольшом количестве.

Решающая функция

Если в задаче без эксперимента статистик должен принять решение из пространства решений Статистические и стратегические игры - student2.ru , исходя из априорной информации Статистические и стратегические игры - student2.ru о состояниях природы, то в задаче с экспериментом, он принимает решение в зависимости от исхода эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Чтобы формализовать эту задачу нужно заранее проанализировать все возможные исходы эксперимента, и составить правило Статистические и стратегические игры - student2.ru , определяющее, какое решение Статистические и стратегические игры - student2.ru следует принять при каждом из возможных исходов эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru . Это правило представляет собой отображение пространства исходов эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru на пространство решений Статистические и стратегические игры - student2.ru :

Статистические и стратегические игры - student2.ru , (3.13)

или

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Правило Статистические и стратегические игры - student2.ru , определяющее решение Статистические и стратегические игры - student2.ru , которое должен принять статистик при каждом возможном исходе эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru , называется решающей функцией, а полный перечень возможных решающих функций называется пространством решающих функций Статистические и стратегические игры - student2.ru .

№ 3.8.Рассмотрим решающие функции в условиях № 3.7. Это

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

где Статистические и стратегические игры - student2.ru , Статистические и стратегические игры - student2.ru и Статистические и стратегические игры - student2.ru - решения, которые принимает статистик при исходах эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru , Статистические и стратегические игры - student2.ru и Статистические и стратегические игры - student2.ru соответственно. Например, Статистические и стратегические игры - student2.ru означает, что при исходе эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru принимается решение Статистические и стратегические игры - student2.ru , при исходе Статистические и стратегические игры - student2.ru - решение Статистические и стратегические игры - student2.ru , при исходе Статистические и стратегические игры - student2.ru - решение Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Видно, что число чистых стратегий статистика значительно увеличилось. В № 8 это число равно Статистические и стратегические игры - student2.ru , а в общем случае Статистические и стратегические игры - student2.ru , где Статистические и стратегические игры - student2.ru - количество возможных решений статистика Статистические и стратегические игры - student2.ru , а Статистические и стратегические игры - student2.ru - количество возможных исходов эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Понятие решающей функции позволяет более четко сформулировать задачу статистика. Эта задача состоит в том, чтобы из пространства решающих функций Статистические и стратегические игры - student2.ru , выбрать такую решающую функцию Статистические и стратегические игры - student2.ru , которая позволит принимать наиболее выгодные решения. Для этого необходимо уметь оценивать различные решающие функции, что можно сделать при помощи, так называемых, функций риска.

Функции риска

Если статистик остановил свой выбор на некоторой решающей функции Статистические и стратегические игры - student2.ru , то он, тем самым, определил для каждого исхода эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru , Статистические и стратегические игры - student2.ru , соответствующее решение Статистические и стратегические игры - student2.ru , которому при данном состоянии природы Статистические и стратегические игры - student2.ru будут соответствовать потери:

Статистические и стратегические игры - student2.ru . (3.14)

Но при заданном Статистические и стратегические игры - student2.ru , исход эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru будет случайной величиной с вероятностями:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

на пространстве Статистические и стратегические игры - student2.ru . Поэтому и потери Статистические и стратегические игры - student2.ru будут случайными величинами с вероятностями Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Следовательно, необходимо вести речь о средних потерях, определенных на всем пространстве возможных исходов эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru . Эти средние потери называются функцией риска:

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru . (3.15)

Функция риска Статистические и стратегические игры - student2.ru определяется для каждого состояния природы Статистические и стратегические игры - student2.ru и для каждой решающей функции Статистические и стратегические игры - student2.ru . То есть определяется на прямом произведении множеств Статистические и стратегические игры - student2.ru точно так же, как функция потерь Статистические и стратегические игры - student2.ru , в игре без эксперимента, определялась на прямом произведении множеств Статистические и стратегические игры - student2.ru . Следовательно, пространство решающих функций Статистические и стратегические игры - student2.ru и функция риска Статистические и стратегические игры - student2.ru , в игре с единичным экспериментом, играют ту же роль, что и пространство возможных стратегий статистика Статистические и стратегические игры - student2.ru и функция потерь Статистические и стратегические игры - student2.ru в игре без эксперимента. Это означает, что игру с единичным экспериментом можно решить теми же самыми методами, что и игру без эксперимента. Плохо только то, что количество чистых стратегий статистика неимоверно возрастает.

В игре с экспериментом статистик может применять и смешанные стратегии. Для этого он должен иметь механизм случайного выбора, задающий распределение вероятностей Статистические и стратегические игры - student2.ru в пространстве Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Тогда функция риска, при применении смешанных стратегий, будет вычисляться как математическое ожидание (среднее):

Статистические и стратегические игры - student2.ru , (3.16)

или с учетом (3.15):

Статистические и стратегические игры - student2.ru . (3.17)

Естественно, что при поиске наилучшей стратегии в игре с экспериментом статистик должен исходить только из допустимых стратегий, которые определяются аналогично игре без эксперимента.

№ 3.9.Вычислить функции риска в задаче о технологической линии.

Решение. Для удобства расчетов потери статистика Статистические и стратегические игры - student2.ru и вероятности Статистические и стратегические игры - student2.ru сведем в одну таблицу:

  Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,60 0,25 0,15
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,20 0,30 0,50

Вычислим, например, Статистические и стратегические игры - student2.ru . Согласно формуле (3.15), получаем:

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Тогда

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

И так далее, можно вычислить все Статистические и стратегические игры - student2.ru значения функции риска.

Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве

Рассмотрим задачу о том, на каких участках сажать картофель: на влажных Статистические и стратегические игры - student2.ru , или на засушливых Статистические и стратегические игры - student2.ru . Множество состояний природы состоит из двух элементов: Статистические и стратегические игры - student2.ru - влажное лето (осадков будет выше нормы), Статистические и стратегические игры - student2.ru - сухое лето (осадков будет ниже нормы). По результатам многолетних наблюдений известна соответствующая прибыль в расчете на 1 га (в у.е.):

  Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru

Так как размерность задачи мала, то решение этой статистической игры можно будет продемонстрировать аналитически.

Определим функцию потерь Статистические и стратегические игры - student2.ru в виде разности между наибольшей прибылью (25) и прибылью которую можно получить во всех остальных случаях:

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru 20 0

Статистические и стратегические игры - student2.ru 5 17

Определим множество Статистические и стратегические игры - student2.ru исходов эксперимента как: Статистические и стратегические игры - student2.ru - наблюдается (весной) большое количество осадков, Статистические и стратегические игры - student2.ru - малое количество осадков, со следующими условными вероятностями Статистические и стратегические игры - student2.ru :

  Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,60 0,30
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,40 0,70

Построим пространство Статистические и стратегические игры - student2.ru решающих функций Статистические и стратегические игры - student2.ru :

  Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru

и вычислим функции риска, представив для удобства расчетов потери и условные вероятности в одной таблице:

  Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,60 0,40
Статистические и стратегические игры - student2.ru 0,30 0,70

Тогда можем получить следующие функции риска:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Представим полученные значения в виде матрицы (таблицы) рисков:

  Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru 13,4 8,6

Видно, что стратегия Статистические и стратегические игры - student2.ru является недопустимой, так как при сравнении ее со стратегией Статистические и стратегические игры - student2.ru , получаем следующие неравенства: Статистические и стратегические игры - student2.ru . Поэтому стратегию Статистические и стратегические игры - student2.ru можно исключить. Это приводит к следующей матрице рисков:

  Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru
Статистические и стратегические игры - student2.ru 8,6

Найдем сначала байесовское решение, предполагая, что априорное распределение вероятностей состояний природы имеет вид: Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Тогда средние потери (риски) будут равны:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

Видно, что

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Следовательно, оптимальной байесовской стратегией будет стратегия Статистические и стратегические игры - student2.ru : если весной много осадков ( Статистические и стратегические игры - student2.ru ), то принимается решение Статистические и стратегические игры - student2.ru о том, что картофель надо сажать на засушливых участках; если весной будет мало осадков ( Статистические и стратегические игры - student2.ru ), то принимается решение Статистические и стратегические игры - student2.ru о том, что посадки надо осуществить на влажных участках.

Найдем теперь минимаксное решение Статистические и стратегические игры - student2.ru . Согласно принципу минимакса необходимо выполнение следующих условий:

Статистические и стратегические игры - student2.ru

где Статистические и стратегические игры - student2.ru - цена игры. Разделив на Статистические и стратегические игры - student2.ru все неравенства, получаем Статистические и стратегические игры - student2.ru задачу линейного программирования.

Найти

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

при ограничениях:

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Решив эту задачу, получаем:

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

то есть

Статистические и стратегические игры - student2.ru ,

и

Статистические и стратегические игры - student2.ru

Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Таким образом, минимаксная стратегия заключается в выборе стратегии Статистические и стратегические игры - student2.ru с вероятностью 0,0385, и стратегии Статистические и стратегические игры - student2.ru с вероятностью 0,9615. Это означает, что если весной наблюдается большое число осадков Статистические и стратегические игры - student2.ru , то с вероятностью 0,0385 принимается решение Статистические и стратегические игры - student2.ru , а с вероятностью 0,9615 - решение Статистические и стратегические игры - student2.ru . Если же весной наблюдается малое число осадков Статистические и стратегические игры - student2.ru , то принимается решение Статистические и стратегические игры - student2.ru . Кроме того, видно, что минимаксная стратегия более осторожна, чем байесовская, так как Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Если решать эту задачу без проведения эксперимента, то легко можно получить:

а) байесовское решение: Статистические и стратегические игры - student2.ru ;

б) минимаксное решение: Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Видно, что проведение эксперимента действительно позволило улучшить результаты статистика, особенно минимаксное решение.

Байесовские решения

Применение апостериорных вероятностей позволяет находить байесовские решения при каждом конкретном исходе эксперимента Статистические и стратегические игры - student2.ru . И в отличие от решений, рассмотренных выше, вместо априорных вероятностей Статистические и стратегические игры - student2.ru применяются апостериорные вероятности Статистические и стратегические игры - student2.ru .

Найдем байесовские решения в задаче § 3.6. Для этого вычислим апостериорные вероятности при помощи расчетной таблицы:

  Статистические и стратегические игры - student2.ru