Меры положения и меры рассеяния частотного распределения и их характеристика.

Ряды распределения описываются разными числовыми характеристиками, которые называются мерами. Меры – это числовые характеристики вариационного ряда.

Все меры делятся на три основные группы:

1. Меры положения.

2. Меры рассеяния (разброса).

3. Меры формы.

1. К мерам положения относятся различные средние значения.

Основные меры положения:

1. Мода Мо.

2. Медиана Ме.

3. Средняя арифметическая простая

4. Средняя арифметическая взвешенная

Более редко используются:

5. Средняя геометрическая.

6. Средняя гармоническая.

7. Средняя квадратичная.

8. Средняя кубическая.

Мода - величина, значение которой наиболее часто встречается в совокупности.

Медиана - величина, которая делит упорядоченный (ранжированный) ряд распределения пополам. Медиана характеризует середину вариационного ряда и геометрически разделяет площадь под кривые распределения на две равные части.

Для нахождения медианы нужно:

1. Упорядочить (ранжировать) ряд в порядке возрастания числовых значений.

2. Найти номер медианы по формулам:

для нечетного числа вариантов (нечетного объема выборки) ;

для четного числа вариантов (четного объема выборки) .

Средняя арифметическая простая - величина, полученная суммированием числовых значений всех вариантов с последующим делением суммы на объем совокупности. Средняя арифметическая простая находится по формуле:

Средняя арифметическая взвешенная – величина, полученная суммированием произведений числовых значений вариантов на их частоты с последующим делением суммы на объем совокупности. Формула вычисления средней взвешенной:

Пример: Обследовано 10 семей с числом детей в семье от 1 до 3 человек. Среднюю арифметическую числа детей в семье вычисляем как среднюю взвешенную соответственно данным таблицы:

число детей хi
число семей с данным количеством детей Ni

Меры рассеяния характеризуют разброс числовых значений вариантов в генеральной или выборочной совокупности относительно средних значений.

К мерам рассеяния относятся:

1. Вариационный размах R;

2. Индивидуальное отклонение d;

3. Дисперсия σ², s²;

4. Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) σ, s ;

5. Коэффициент вариации V.

Вариационный размах - представляет собой разность максимального X_макс и минимального Х_мин числового значений вариантов совокупности:

R = Х_макс - Х_мин.

Индивидуальное отклонение - отклонение числового значения данного варианта X_i от средней арифметической совокупности:

d = X_i - .

Основное свойство индивидуальных отклонений: сумма всех индивидуальных отклонений равна нулю.

Дисперсия - мера рассеяния, полученная суммированием квадратов индивидуальных отклонений с последующим делением суммы на объем совокупности.

Дисперсия генеральной совокупности обозначается σ² ( выборочной s² ) и вычисляется по формуле:

σ²= .

Стандартное (среднее квадратическое) отклонение - мера рассеяния равная корню квадратному из дисперсии.

Стандартное отклонение генеральной совокупности обозначается символом σ ( выборки s ) и вычисляется по формуле:

Коэффициент вариации- это относительная мера рассеяния, равная отношению стандартного отклонения s к средней арифметической .

Коэффициент вариации обозначается символом V, вычисляется в долях единицы или в процентах по формулам:

.

Кроме вышеприведенных числовых характеристик вариационного ряда в статистике существуют и другие, но они в медицине практически не используются.