Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины

Как мы уже отмечали, вероятность события, состоящего в том, что абсолютно непрерывная случайная величина примет некоторое конкретное значение, равна нулю. Поэтому и формула для математического ожидания принимает иной вид.

Вспомним, что функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Соответственно, математическое ожидание случайной величины Х будет таким:

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Замечание 21.7. Вернемся к нашей аналогии плотности вероятности и физической плотности при обсуждении абсолютно непрерывного закона распределения. Точка, в которой нужно установить упор (подвес), для тог, чтобы уравновесить этот гипотетический стержень и будет точкой математического ожидания в данном случае. Так что, как и в дискретном случае, мы можем говорить о математическом ожидании как о «средневзвешенном» значении.

Пример 21.3.

Найти математическое ожидание равномерно распределенной на [a,b] случайной величины X. Поскольку при x<a, x>b плотность p(x)=0 и ЕХ =

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

То есть математическое ожидание – это середина отрезка [a,b]

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина Х принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть Х º С, то её математическое ожидание равно С.

2. Если ЕХ = а, и k – константа, то Е(kХ) = kЕХ (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).

3. Если ЕХ = а, и k – константа, то Е(k + Х) = k + ЕХ математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины).

4. E(X+Y) =EX + EY

5. Если X и Y – независимые случайные величины, то E(X∙Y) = EX∙ EY

Определение 21.3.Дисперсия случайной величины.

Дисперсия DXслучайной величины X определяется формулой

DX = E(X – EX)2

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину X с законом распределения

X
Р Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Вычислим её математическое ожидание.

EX = 1× Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru + 2× Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru + 3× Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru = Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Составим закон распределения случайной величины X – EX

X– EX Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru
Р Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

а затем закон распределения случайной величины (X - EX)2

(X– EX)2 Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru
Р Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Теперь можно рассчитать величину DX :

DX = Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru × Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru + Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru × Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru + Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru × Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru = Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Замечание 21.8. Более удобной для вычисления может оказаться следующая формула, которую можно рассматривать как одно из свойств дисперсии:

DX = EX2 – (EX)2

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате­матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания. Для использования этой формулы нужно составить таблицу:

X2
Р Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

и провести вычисления EX2 и (EX)2 по описанной схеме.

Пример 21.4.

Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения

X
Р p q

Выше было показано, что EX = р. Легко видеть, что EX2 = р. Таким образом, получается, что DX = р – р2 = pq.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Пример 21.5.

Найти дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на [a,b]

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Свойства дисперсии.

1. Если k – число, то D(kX) = k2 DX.

2. Для попарно независимых случайных величин X1, X2,¼, Xn справедливо равенство

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

3. Если Х и Y независимы, D(X+Y) = DX + DY.

Предлагаем в качестве упражнения рассмотреть, чему равняется D(X– Y) в тех же условиях

Определения 2.6.Неравенства Маркова и Чебышева

Неравенства Маркова дают оценку для значений случайной величины в тех случаях, когда наши знания о случайной величине ограничиваются ее математическим ожиданием и дисперсией, и, хотя эти оценки достаточно грубы, они требуют минимальной информации о рассматриваемой случайной величине.

Если возможные значения дискретной случайной величины Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание ЕХ = а , то для любого числа с > 0 справедливо неравенство

Р (Х <с ) >1 – а / с

Соответственно, выполняется и неравенство

Р (Х ≥ с ) ≤ а / с

Эти неравенства называются (первым и вторым) неравенствами Маркова

Пример 21.6. Пусть X — время опоздания студента на

лекцию, причем известно, что ЕХ = 1 мин. Воспользовавшись

первым неравенством Чебышева, оценим вероятность Р{Х >5}

того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин.

Имеем P(X≥5) ≤EX/5

Таким образом, искомая вероятность не более 0,2, т.е. в среднем,

из каждых пяти студентов опаздывает по крайней мере на 5 мин не более чем один студент.

Если Х – случайная величина, математическое ожидание которой ЕХ = а , дисперсия DХ конечна, то для любого числа с > 0 выполняются неравенства

P ( | X – a | ≥ c ) ≤DX / c2

P ( | X – a | < c ) >1 – DX / c2

Данные неравенства называются (первым и вторым) неравенствами Чебышева

Замечание 21.9. Иногда и неравенства Маркова и неравенства Чебышева называются первым и вторым неравенствами Чебышева.

Пример 21.7. Пусть в условиях предыдущего примера известно дополнительно, что а = y/DX = 1. Оценим минимальное значение хо, при котором вероятность опоздания студента на время не менее хо не превышает заданного значения Р3 = 0,1.

Для решения поставленной задачи воспользуемся неравенством Чебышева. Тогда

Р3 ≤ Р{Х ≥х0} = Р{Х - ЕX ≥ хо - ЕX} ≤ Р{|Х – EХ| >х0- EX}≤ Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Значит,

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru и Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

И, подставляя конкретные значения, имеем Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Таким образом, вероятность опоздания студента на время более 4,16 мин не более 0,1.

Сравнивая полученный результат с результатом предыдущего примера можно заметить, что дополнительная информация о дисперсии времени опоздания позволяет дать более точную оценку искомой вероятности.

Замечание 21.10. Элементарным следствием из неравенства Чебышева является Закон больших чисел (в форме Чебышева):

Определение 21.8. (Начальным)Моментом порядка k случайной величины Х называется число mk = Е(Хk )

Определение 21.9. (Центральным) моментом порядка k случайной величины Х называется число μk = Е(Х–ЕХ)k

Замечание 21.11. Нетрудно видеть, что математическое ожидание – начальный момент первого порядка, а дисперсия – центральный момент второго порядка.

Замечание 21.12. Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = EX, то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому

появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения.

Определение 21.10. Асимметрией А случайной величины Х называют отношение третьего центрального момента к кубу среднеквадратичного отклонения. А=μ3 / σ3

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

(по Е.В.Сидоренко)

Асимметрия - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания.:
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если больше нуля , то правее.

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому

появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения. При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней,

или отрицательной - более высокие

Очевидно, что для случайной величины, распределенной симметрично относительно математического ожидания, асимметрия равна нулю.

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному

появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом. Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное (см следующий рисунок эксцесса).

Определение 21.11. Эксцессом γ случайной величины Х называют отношение

g = (μ4 / σ4 ) –3

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Эксцесс: а) положительный; 6) отрицательный. В распределениях с нормальной выпуклостьюγ =0.

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины Х от нормального распределения, как раз и является эксцесс. Для нормального распределения γ=0, если γ >0 , то это значит, что график плотности «заострен» сильнее, чем у нормального, а если γ<0, то, соответственно, меньше.

Определение 21.12. Квантилью (квантилем)уровня α или α-квантилью (0<α<1) называют число Qα, удовлетворяющее неравенствам Р{X < Qα }≤α и P{X> Qα } ≤ 1 – α

½ -квантиль называют также Медианой М случайной величины Х.

Для непрерывной случайной величины Х α-квантиль Qα – это такое число, меньше которого Х принимает значение с вероятностью α.

Если известна плотность распределения ρ(х) случайной величины Х, то, учитывая связь между функцией распределения и плотностью, уравнение для определения квантили можно записать как

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Иначе говоря, квантиль Qα – решение уравнения F(Qα )=α ,

Пример 21.8.

Найдем α-квантиль и медиану экспоненциального распределения

(Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром l > 0, если она принимает только неотрицательные значения, а ее плотность распределенияимеет вид: r(х) = lе-lх , x≥0 и 0, если х <0

Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru , поэтому Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru , а медиана равна Определение 21.2.Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины - student2.ru

Определение 21.13. Модой непрерывной случайной величины называют точку максимума (локального) плотности распределения р(х). Различают унимодальные (имеющие одну моду), бимодальные (имеющие две моды) и мулътимодальные (имеющие несколько мод) распределения.

Для определения моды дискретной случайной величины предположим сначала, что ее значения x1, … xn расположены в порядке возрастания.

Модой дискретной случайной величины называют такое значение хi, при котором для вероятностей выполняются неравенства

pi-1 < pi и pi+1 < рi

В случае дискретных случайных величин распределения также могут быть унимодальными, бимодальными и мультимодальными.

Определение 21.14.Наивероятнейшим значением называют моду, при которой достигается глобальный максимум вероятности (дискретной случайной величины) или плотности распределения (непрерывной случайной величины).

Если распределение унимодальное, то мода также будет наивероятнейшим значением.

Наши рекомендации