Приклади відносної частоти.

Приклад 1. Серед випадково взятих 100 деталей було знайдено 5 бракованих. Звідси відносна частота появи браку складає

W(A) = 5/100 = 1/20.

Приклад 2. В процесі проведення контрольної роботи серед 25 студентів задачу розв'язали вірно 22 студенти. Відносна частота вірного розв'язання задачі становить

W(A) = 22/25.

Приклад геометричної ймовірності. На відрізок ОА з довжиною L навмання поставлено точку В(х). Знайти ймовірність того, що менший з відрізків ОВ та ВА має довжину, більшу від L/3. передбачається. Що ймовірність потрапляння точки на відрізок пропорційна довжині відрізка та не залежить від його.

Завдання1. Злочинець зміг захопити сейф та частину документації до нього. Так, йому відомо, що код замка сейфа складається з 12 цифр. Йому також відомі останні 9 цифр коду. Для зламу сейфу злочинець навмання набрав невідомі цифри коду. Яка ймовірність, що злочинцю вдалось відкрити сейф, якщо прийняти, що цифри неоднакові.

Розв'язок

А - подія, коли набрано потрібні 2 цифри.

Знайдемо загальну кількість елементарних виходів:

А³₁₂ = 12! / (12 - 3)! = 12! / 9! = 10 * 11* 12 = 1320.

Тоді ймовірність того, що злочинцю вдалось набрати необхідні цифри, відповідно становить:

Р(А) = 3 / 1320 = 1 / 440.

Завдання 2. Розрахуйте, чому буде дорівнювати ймовірність події А - що сума чисел, які випали на двох кубиках, буде становити 6.

Розв'язок

Загальна кількість рівноможливих результатів становить 6 * 6 = 36 (числа на гранях кубиків можуть комбінуватись будь-як). Сприятливі результати (всього 5) - комбінації чисел на гранях: (1;5), (5;1), (4;2), (2;4), (3;3).

Шукана ймовірність

Р(А) = 5 / 36.

Завдання 3.

Завдання

1. В ящику є 50 однакових деталей, з них 5 - пофарбовані. Навмання виймають одну деталь. Знайти ймовірність того, що взята деталь виявиться пофарбованою.

Розв'язок:

Р(А) = спр/Σ = 5/50=1/10.

2. Кинуто гральний кубик. Знайти ймовірність того, що випаде парне число.

Розв'язок:

Р(А) = спр/Σ = /всього: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → n=6; сприятливі: 2, 4, 6 → n=3/ = 3/6 = 1/2.

3. Учасники жеребкування тягнуть з ящика жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що першого витягнутого навмання жетона не містить цифри 5.

Розв'язок:

Р(А) = спр/Σ = /1 до 100 → n=100; сприятливі: 100 - 9=91/ = 91/100 = 0,91.

4. Маємо 5 однакових кубиків; на гранях кожного з них написано одну з літер: о, п, р, с, т. Знайти ймовірність того, що при довільному вийманні кубиків з ящика і їх розміщенні в одну лінію вдасться скласти слово "спорт".

Розв'язок:

N=5, комбінацій з літер, які є в ящику, можна створити: С¹₅ = 5! = 1*2*3*4*5 = 120. З них сприятливою є лише одна. → Р(А) = 1/120.

5. На кожній з 6 однакових карточок надрукована одна з наступних літер: а, т, м, р, с, о. Карточки добре перемішані. Знайти ймовірність того, що на чотирьох карточках, витягнутих одна за одною і розміщених в одну лінію, можна буде прочитати слово "трос".

Розв'язок:

С⁶₄ = 6! / (6-4)! = 360; Р(А) = 1/360.

6. Куб, грані якого пофарбовані розпиляли на 1000 кубиків однакового розміру, які потім добре перемішали. Знайти ймовірність того, що навмання витягнутий кубик матиме пофарбованих граней: а) одну; б) дві; в) три.

Розв'язок:

Щоб розбити куб на 1000 частин потрібно провести розбивку кожної його грані на 10 однакових квадратів і по ним провести розпил. Згідно з такими міркуванннями матимемо наступний вигляд передньої грані куба.

А) граней 6, на кожній з них 8*8 кубиків → 64*6 = 384; Р(А) = 384/1000 = 0,384.

Б) вважаємо, що "комплектних" граней 3, на кожній з них 32 потрібних кубиків → 32*3 = 96; Р(А) = 96/1000 = 0,096.

В) у куба всього разом 8 кутів, відповідно при розвилі отримаємо шуканих кубиків з 3 забарвленими гранями 8; Р(А) = 8/1000 = 0,008.

7. З добре перемішаного повного набора доміно (28 пластинок) наудачу вибрана одна пластинка. Знайти ймовірність того, що другу наудачу вибрану пластинку можна приставити до першої, якщо перша пластинка: а) виявилась дублем; б) не є дублем.

Розв'язок:

По-перше, перерахуємо пластинки повного набору доміно:

0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6;

1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6;

2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6;

3-3, 3-4, 3-5, 3-6;

4-4, 4-5, 4-6;

5-5, 5-6;

6-6.

А) Як видно з розкладу, до кожного дубля комплементарними можуть бути 6 пластинок. Коли ми витягли одну пластинку (А - дубль, Б - не дубль), у нас залишилось 27 пластинок (n=27). → Р(А) = 6 / 27 = 2/9.

Б) для не-дубля маємо комплементарних пластинок у два рази більше - 12. → Р(А) = 12 / 27 = 4/9.

8. Замок на загальній вісі має 5 дисків. Кожен диск розділений на 6 секторів, на яких написано різні букви. Замок відкривається тільки тоді коли, кожний диск займає певне положення відносно корпуса замка. Знайти ймовірність того, що при довільному розміщенні дисків замок можна буде відчинити.

Розв'язок:

З букв, які містяться на 5 дисках можна скласти 6⁵ комбінацій, відповідно ймовірність підібрати код з першого разу становитиме:

Р(А) = 1 / 6⁵ .

9. Вісім різних книжок розставили навмання на одній полиці. Знайти ймовірність того, що певні дві книжки стоятимуть поряд.

Розв'язок:

Дані книжки можна розставити на полиці 8! способами. Ймовірність того, що книжки виявляться поряд становитиме (так як книжки можуть стояти у будь-якому з 7 положень) → Р(А) = 7*(С²₈) = 7* 2!*6!/8! = 1/4.

10. Бібліотечка складається з 10 різних книжок, причому 5 з них коштують 4 грн, 3 - 1 грн, 2 - 2 грн. Знайти ймовірність того, що взяті навмання дві книги коштують 5 грн.

Розв'язок:

Загальна кількість комбінацій книг по 2 складає С²₁₀. Сприятливими будуть комбінації: одна книжна (з 5) за 4 грн та одна книжка (з 1) за 1 грн., відповідно, добуток С¹₅ та С¹₃ (тобто, за умови комбінації цих подій) → Р(А) = С¹₅ * С¹₃ / С²₁₀ = [(5!/1!*4!)*(3!/1!*2!)] / (10!/ 2!*8!)] = 5 * 3 / 9*10 = 15 / 45 = 1/3.

11. У партії з 100 деталей відділ технічного контроля виявив 5 нестандартних деталей. Чому дорівнює відносна частота появи нестандартних деталей?

Розв'язок:

W = 5 / 100 = 1/20.

12. При стрільбі з рушниці відносна частота потрапляння в ціль дорівнювала 0,85. Знайти кількість потрапляння, якщо загальна кількість пострілів становила 120.

Розв'язок:

W_потр. = n_потр. / n_{пострілів загальне} → n_потр. = W_потр. * n_{пострілів загальне} = 0,85*120 = 102 потрапляння ("сприятливих" пострілів).