Приклади безпосереднього вираховування ймовірностей.
Види випадкових подій. Ймовірність події та її властивості.
Теореми додавання та множення ймовірностей.
Види випадкових подій. Ймовірність події та її властивості.
Випадковий експеримент має задовольнять 2 пунктам:
1) умови експерименту не визначають однозначний результат; Згідно з цим пунктом наслідком проведення експерименту (дослідження, испытания) можуть бути різні результати - події. Перед кожним експериментом ставиться умова виявити, яи відбулась певна подія (А). Елементарними результатами (ЕР, исходами) називають такі результати, які відповідають умовам:
· ніякі дві (або більше) ЕР не відбуваються одночасно і хоча б один з ЕР відбувається обов'язково.
· якою б не була А, по ЕР можна визначити, відбулась А чи ні.
2) має місце статистична стійкість.
Приклад. Кидання грального кубика. Елементарні результати - випадання і очків на верхній грані (і = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Подія А - випадання непарного числа очків. Всі елементарні результати, коли буде з'являтись А, є сприятливими.
Події можуть бути:
· Несумісні- коли поява події 1 виключає появу події 2. Прилад. Кинули монету. Поява "герба" виключає появу напису. Події "з'явився герб" і "з'явився напис" несумісні.
· Рівноможливі- коли невідомі фактори, які визначають появу саме певної конкретної події. Приклад. Поява "герба" чи напису при киданні монети є рівноможливими подіями. Дійсно, передбачається, що монета виготовлена з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму і наявність чеканки не впливає випадіння тої чи іншої сторони монети.
· Повна група попарно несумісних подій- коли відомо, що обов'язкова поява однієї і тільки однієї події. Приклад. Маємо два білети лотереї. Обов'язково відбудеться одна і тільки одна подія: "виграш випав на 1 і не випав на 2 білет", "виграш не випав на 1 білет і випав на 2 білет", "виграш випав на 1 та на 2 білет", "виграш не випав на 1 та на 2 білет".
Основні формули комбінаторики.
Приклад перестановокСкільки трьохзначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, коли кожна цифра входить в зображення числа один раз:
Розв'язок
Р3 = 3! = 1*2*3 = 6
Приклад розміщень. Скільки можна скласти комбінацій з 6 фігур різного кольору, взятих по 2 (за умови, що має значення послідовність розміщення кольорів)?
Розв'язок
А26 = 2*6! / 2!*(6-2)! = 1*2*3*4*5*6 / 1*2*3*4 = 5*6 = 30.
Приклад групування. Скількома способами можна витягнути 2 кульки з ящика, у якому міститься 10 кульк?
Розв'язок
С210 = 10! / 2! * (10-2)! = 10! / 2! * 8! = 9*10 / 2 = 45.
Приклади безпосереднього вираховування ймовірностей.
Приклад 1. При наборі телефонного номера абонент забув одну цифру і набрав її наудачу. Яка ймовірність того, що набрано потрібна цифра.
Розв'язок
Позначимо А - подія, що набрано потрібну цифру.
Абонент міг набрати будь-яку з 10 цифр, тому загальна кількість можливих елементарних результатів дорівнює 10. Ці результати несумісні, рівноможливі і утворюють повну групу. Сприятливий результат може бути тільки один. Шукана ймовірність дорівнює відношенню числу результатів, які сприяють події до загальної кількості елементарних виходів:
Р(А) = 1/10.
Приклад 2. Розглянемо ситуацію, описану вище, але тепер абонент забув дві цифри, але він пам'ятає, що ці цифри різні, тому набрав їх наудачу. Знайдемо ймовірність, що набрано необхідні цифри.
Розв'язок
Позначимо В - подія, коли набрано потрібні 2 цифри.
Усього можна набрати стільки різних цифр, скільки можна зробити різних комбінацій цифр по дві , тобто
А210 = 10! / (10 - 2)! = 10*9 = 90.
Таким чином, загальна кількість можливих елементарних результатів дорівнює 90. Ці результати несумісні, рівноможлиіві і утворюють повну групу. Сприятливий події В тільки один результат. Виходячи з цього, можна зробити висновок, що шукана ймовірність дорівнює відношенню кількості результатів, сприятливих події В, до загальної кількості сприятливих результатів:
Р(В) = 1/90.
Приклад 3. Знайти помилку розв'язку задачі: "Кинуто два гральних кубика. Знайти ймовірність, що сума цифр, які випали на верхніх гранях, дорівнює 4 (подія А)".
Розв'язок
Можливі всього 2 результати: сума цифр рівна 4 і сума цифр не рівна 4. Події сприятливий 1 результат, загальна кількість моливих елементарних виходів дорвнює 2. Звідси, шукана ймовірність:
Р(А) = 1/2.
Помилка
Зазначені результати не є рівноймовірними.
Правильне рішення
Загальна кількість рівноможливих результатів дорівнює [(кількість граней у кубику)^(кількість кубиків) = 6^2 = 6*6=36] (кожне число на одному кубику можне комбінуватись з будь-яким числом наіншому кубику). Серед цих подій сприятливі відносно події А тільки 3 результати: (1;3), (3;1), (2;2). Відповідно, шукана ймовірність становитеме:
Р(А) = 3 / 36 = 1 / 12.
Приклад 4. В лабораторію надійшов ящик з колбами різного об'єму: 7 колб з об'ємом 100 мл та 3 колби з об'ємом 150 мл. Яка ймовірність того, що серед шести витягнутих навмання колб 4 мають об'єм 150 мл.
Розв'язок
Загальна кількість можливих елементарних результатів дорівнює кількості способів, якими можна витягнути 6 колб з 10, тобто числу комбінацій з 10 елементів по 6 елементів (С610)
Знайдемо число комбінацій, які сприяють події А (серед 6 витягнутих колб 4 з об'ємом 150 мл).
Для простоти пояснення позначимо колби об'ємом 100 мл Х, та об'ємом 150 мл - У.
4 У з семи У можна взяти С47 способами, при цьому інші 6 - 4 колби мають бути Х. Витягнути 2 Х з трьох можна С23 способами. Тоді кількість сприятливих результатів дорівнює С47 * С23.
Шукана ймовірність становитиме:
Р(А) = С47 * С23 /С610 =
= [(7! / {4! * (7-4)!}] * [(3! / {2! * (3-2)!}] / [10! / {6! * (10-6)!}] =
[7! / (4! * 3!)] * [3! / (2! * 1!)] / [10! / (6! * 4!)] =
[{5*6*7 / 1*2*3} * {1*2*3 / 1*2*1} / [7*8*9*10 / 1*2*3*4] =
= [(5*7) * 3] / [7*3*10] = 105 / 210 = 1/2.