Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин)
Для того чтобы дискретные случайные величины Х1,…,Хn были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение .
Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).
Для того чтобы непрерывные случайные величины Х1, Х2,…,Хn были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось соотношение
.
Здесь —совместимая плотность распределения случайных величин Х1,…,Хn, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х1,…,Хn
.
Предположим, что случайная величина . Вероятность, что
.
Пусть .
.
, где —функция Лапласа.
Замечание. Необходимо отметить, что φ(t)—четная функция, т.е.
φ(-х)=φ(х); функция Лапласа —нечетная, т.е.; функция стандартного нормального распределения N(x) обладает свойством N(x)+N(-x)=1.
Системы случайных величин.
o Вектор , где —случайные величины, называются n-мерным случайным вектором.
Таким образом, случайный вектор отображает пространство элементарных исходов Ω→IRn в n-мерное действительное пространство IRn.
o Функция
называется функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения случайных величин .
Свойства функции распределения случайного вектора.
Свойство 1. .
Свойство 2. Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу.
Пусть x1<y1, тогда событие .
Тогда . По свойству вероятности если , то , получим . Т.е. функция не убывает по первому аргументу. Аналогично для любого аргумента.
Свойство 3..
=0
Свойство 4.
.
=.
o Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины.
o Случайный вектор называется непрерывным, если существует неотрицательная функция , называется плотностью распределения случайных величин такая, что функция распределения .
Свойства плотности распределения случайного вектора.
Свойство 1.
Свойство 2. .
.
Теорема 1. Пусть —непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины и —непрерывны, причем , .
Свойство 3., где —множество из пространства IRn.
o Говорят, что случайный вектор имеет равномерное распределение в области , если она непрерывна и имеет плотность.
Если множество
.
o Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х.
Теорема 2. Пусть случайная величина Х непрерывна с плотностью , а случайная величина , где —монотонная дифференцируемая функция, тогда случайная величина Y—непрерывная и имеет плотность .
а) Пусть функция возрастает. По определению
.
Продифференцируем обе части. Справа получим: , слева— , что и требовалось .
б) Пусть убывает.
.
Продифференцировав обе части, .
Покажем, как найти распределение функции случайного аргумента. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина
А) Если различным возможным значениям аргумента функции Y, то вероятность соответствующих значений X и Y между собой равны.
Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана распределением
| Х | ||
| Р | 0,6 | 0,4 |
Найти распределение функции .
Решение. Найдем возможные значения Х:
, . Искомое распределение Y:
| Y | ||
| P | 0,6 | 0,4 |
Б) Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.
Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана распределением
| Х | -2 | ||
| Р | 0,4 | 0,5 | 0,1 |
Найти распределение функции .
, .
Вероятность возможного значения y1=4 равна сумме вероятностей несовместимых событий Х1=-2, Х2=2, т.е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения y2=9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Х.
| Y | ||
| P | 0,9 | 0,1 |
Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.
1. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина с рядом распределения
| Х | x1 | x2 | … | xn | ||||
| Р | p1 | p2 | … | pn | ||||
| Y | φ(x) | φ(x) | … | φ(x) | ||||
| P | p1 | p2 | … | pn | ||||
.
Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением
| Х | |||
| Р | 0,2 | 0,5 | 0,3 |
Найти математическое ожидание функции .
Возможные значения Y:
; ; .
.
2. Пусть аргумент Х—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой: .
Если возможны значения , то .
Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции .
, , , ; Следовательно,
.