Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин

Пример 1. Заданы законы распределения двух независимых величин X и Y:

xi и yi
pi 0,3 0,5 0,2 pi 0,6 0,4

Найти законы распределения случайных величин Z = X – Y и W = XY.

Решение. Найдем возможные значения случайной величины Z. Для этого определим zij = xi – yj и расположим найденные значения в порядке возрастания:

z11 = x1 – y1 = 0, z12= 1 – 2= –1, z21= 2 – 1= 1, z22= 2 – 2= 0, z31= 3 – 1= 2,

z32= 3 – 2= 1, z12= 1 – 2= –1, z1= –1, z2= 0, z3= 1, z4= 2.

Определим соответствующие им вероятности:

p1 = P(Z = –1) = P(X = 1, Y = 2) = P((X = 1) × (Y = 2)) =

= P(X = 1) × (Y = 2) = 0,3 × 0,4 = 0,12;

p2 = P(Z = 0) = P((X = 1, Y = 1) + (X = 2, Y = 2)) =

= P(X = 1) × P(Y = 1) + P(X = 2) × P(Y = 2) = 0,3 × 0,6 + 0,5× 0,4 = 0,38;

p3 = P(Z = 1) = P((X = 2, Y = 1) + (X = 3, Y = 2)) =

= P(X = 2) × P(Y = 1) + P(X = 3) × P(Y = 2) = 0,5 × 0,6 + 0,2× 0,4 = 0,38;

p4 = P(Z = 2) = P(X = 3, Y = 1) = P(X = 3) × P(Y = 1) = 0,2 × 0,6 = 0,12.

При вычислении вероятностей pi используются правила вычисления вероятностей произведения независимых событий и суммы несовместных событий.

Ряд распределения СВ Z имеет вид:

zi –1
pi 0,12 0,38 0,38 0,12

Контроль: Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

Аналогично находим ряд распределения случайной величины
W = X × Y.

Найдем wij = xiyj: w11 = 1 × 1 = 1, w12 = 1 × 2 = 2, w21 = 2 × 1 = 2,

w22 = 2 × 2 = 4, w31 = 3 × 1 = 3, w32 = 3 × 2 = 6.

Тогда w1 = w11 = 1, w2 = w21 = w12 = 2, w3 = w31 = 3, w4 = w22 = 4,
w5 = w32 = 6.

p1 = P(W = 1) = P(X = 1, Y = 1) = P(X = 1) × (Y = 1) = 0,3 × 0,6 = 0,18;

p2 = P(W = 2) = P((X = 1, Y = 2) + (X = 2, Y = 1)) =

= P(X = 1) × P(Y = 2) + P(X = 2) × P(Y = 1) = 0,3 × 0,4 + 0,5× 0,6 = 0,42;

p3 = P(W = 3) = P(X = 3, Y = 1) = P(X = 3) × P(Y = 1) = 0,2× 0,6 = 0,12;

p4 = P(W = 4) = P(X = 2, Y = 2) = P(X = 2) × P(Y = 2) = 0,5 × 0,4 = 0,20;

p5 = P(W = 6) = P(X = 3, Y = 2) = P(X = 3) × P(Y = 2) = 0,2 × 0,4 = 0,08.

Ряд распределения СВ W имеет вид:

wi
pi 0,18 0,42 0,12 0,20 0,08

Контроль: Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

Пример 2. Задана таблица распределения двумерной случайной величины (X, Y):

Y X –1
0,15 0,2 0,25
0,2 0,1 0,1

Определить: а) безусловные законы распределения СВ X и Y;

б) функцию распределения F(x; y) двумерной СВ (X; Y);

в) P(X ≤ Y);

г) условный закон распределения СВ Y при X = x2 и M Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru ;

д) зависимость или независимость компонент X и Y;

е) центр рассеивания: точку (M(X); M(Y));

ж) закон распределения случайной величины Z = XY;

з) коэффициент корреляции rxy.

Решение. а) Суммируя вероятности в первой и второй строках таблицы, найдем вероятности возможных значений СВ X: x1 = 1 и x2 = 2.

P(X = x1) = P(X = 1) = 0,15 + 0,2 + 0,25 = 0,6;

P(X = x2) = P(X = 2) = 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,4.

Суммируя вероятности в каждом из столбцов таблицы, определим вероятности соответствующих значений СВ Y: y1 = –1, y2 = 1, y3 = 2:

P(Y = y1) = P(Y = –1) = 0,15 + 0,2 = 0,35;

P(Y = y2) = P(Y = 1) = 0,2 + 0,1 = 0,3;

P(Y = y3) = P(Y = 2) = 0,25 + 0,1 = 0,35.

Законы распределения СВ X и Y имеют вид:



xi , yi –1 .
pi 0,6 0,4 pi 0,35 0,3 0,35

б) Функцию распределения заданной двумерной СВ (X; Y) найдем, используя формулу (1.60)

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

Если x ≤ 1 или y ≤ –1, то F(x; y) = 0 (события (X < x) или (Y < y) при этом являются невозможными).

Если 1 < x ≤ 2 и –1 < y ≤ 1, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) = 0,15.

Если 1 < x ≤ 2 и 1 < y ≤ 2, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 1; Y = 1) =
= 0,15 + 0,2 = 0,35.

Если 1 < x ≤ 2 и y > 2, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 1; Y = 1) +
+ P(X = 1; Y = 2) = 0,6.

Если x > 2 и –1 < y ≤ 1, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 2; Y = –1) =
= 0,15 + 0,2 = 0,35.

Если x > 2 и 1 < y ≤ 2, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 2; Y = –1) +
+ P(X = 1; Y = 1) + P(X = 2; Y = 1) = 0,15 + 0,2 + 0,2 + 0,1 = 0,65.

Если x > 2 и y > 2, то F(x; y) = P(X = 1; Y = –1) + P(X = 2; Y = –1) +
+ P(X = 1; Y = 1) + P(X = 2; Y = 1) + P(X = 1; Y = 2) + P(X = 2; Y = 2) = 0,15 + + 0,2 + 0,2 + 0,1 + 0,25 + 0,1= 1.

Таким образом, функцию распределения данной системы дискретных случайных величин можно задать таблицей

F(x; y) = при y ≤ –1 –1 < y ≤ 1 1 < y ≤ 2 y > 1
x ≤ 1
1 < x ≤ 2 0,15 0,35 0,6
x > 2 0,35 0,65

в) P(X ≤ Y)= P(X = 1; Y = 1) + P(X = 1; Y = 2) + P(X = 2; Y = 2) = 0,2 +
+ 0,25 + 0,1 = 0,55.

г) Условные вероятности значений СВ Y при X = x2 найдем по формуле (1.63)

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

P(X = x2) = (X = 2) = 0,4;

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

Таким образом условный закон распределения СВ Y при X = 2 имеет вид

yj –1
Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru 0,5 0,25 0,25

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

д) Так как безусловный и условный законы распределения СВ Y не совпадают, то случайные величины X и Y зависимы. (В этом можно было убедиться и другим способом: P(X = 2; Y = 1) =0,1; P(X = 2) × P(Y = 1) =
= 0,4 × 0,3 = 0,12; 0,1 ¹ 0,12).

е) Используя найденные законы распределения составляющих X и Y вычислим M(X) и M(Y):

M(X) = 1 × 0,6 + 2 × 0,4 = 1,4; M(Y) = 1 × 0,35 + 1 × 0,3 + 2 × 0,35 = 0,65.

Точка (1,4; 0,65) – центр рассеивания двумерной случайной величины (X; Y).

ж) Так как случайные величины X и Y зависимы, то удобнее находить закон распределения случайной величины Z = XY по закону распределения двумерной СВ (X; Y).

Возможные значения случайной величины Z:

z1 = –2, z2 = –1, z3 = 1, z4 = 2, z5 = 4.

Определим соответствующие им вероятности:

p1 = P(Z = –2) = P(X = 2; Y = –1) = 0,2;

p2 = P(Z = –1) = P(X = 1; Y = –1) = 0,15;

p3 = P(Z = 1) = P(X = 1; Y = 1) = 0,2;

p4 = P(Z = 2) = P(X = 2; Y = 1) + P(X = 1; Y = 2)= 0,1 + 0,25 = 0,35;

p5 = P(Z = 4) = P(X = 2; Y = 2) = 0,1.

Ряд распределения СВ Z имеет вид:

zi –2 –1
pi 0,2 0,15 0,2 0,35 0,1

з) Коэффициент корреляции rXY найдем по формуле (1.74)

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

используя для определения корреляционного момента KXY соотношение (1.72)

KXY = M(XY) – M(X) × M(Y).

M(XY) = M(Z) = –2 × 0,2 – 1 × 0,15 + 1 × 0,2 + 2 × 0,35 + 4 × 0,1 = –0,4 – 0,15 +
+ 0,2 + 0,7 + 0,4 = 0,75.

(M(XY) можно также находить по формуле (1.73) Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru При этом M(XY) = 1(–1) × 0,15 + 2(–1) × 0,2 + 1 × 1 × 0,2 + 2 × 1 × 0,1 +
+ 1 × 2 × 0,25 + 2 × 2 × 0,1 = –0,15 – 0,4 + 0,2 + 0,2 + 0,5 + 0,4 = 0,75.)

Так как M(X) =1,4 и M(Y) = 0,65, то KXY = 0,75 – 1,4 × 0,65 = 0,75 – 0,91 =
= – 0,16.

Вычисляем средние квадратические отклонения составляющих по формулам

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

Так как законы распределения случайных величин X2 и Y2 имеют вид:

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru и Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru ,
pi 0,6 0,4 pj 0,65 0,35

то M(X 2) = 1 × 0,6 + 4 × 0,4 = 0,6 + 1,6 = 2,2;

D(X) = 2,2 – (1,4)2 = 2,2 – 1,96 = 0,24;

M(Y 2) = 1 × 0,65 + 4 × 0,35 = 0,65 + 1,4 = 2,05;

D(Y) = 2,05 – (0,65)2 = 2,05 – 0,4225 = 1,5275;

Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru Функции одного и двух дискретных случайных аргументов. Совместное распределение двух дискретных случайных величин - student2.ru

Наши рекомендации