Пересечение («умножение») классов
Объединение («сложение») классов
Объединение (илисумма) двух классов — это класс тех элементов, которые принадлежат хотя бы к одному из этих двух классов17: Объединение обозначается: 
или 
Объединение класса четных чисел с классом нечетных чисел дает класс целых чисел. Объединив класс поэтов и класс советских поэтов, получим класс поэтов.
При выражении операции объединения классов пользуются обычно союзом «или» в не исключающем смысле. Например, говоря, что некто — член волейбольной или гимнастической секции, мы не исключаем того, что этот человек может быть одновременно членом обеих секций.
В языке существует и такое употребление союза «или», при котором этот союз понимается в строго разделительном смысле,
например: «Данный глагол первого или второго спряжения». Соответствующая операция над классами называется симметрической разностью и в наиболее интересном случае иллюстрируется графически так, как это изображено на рис. 8. 
Класс, составляющий симметрическую разность классовА иВ, на чертеже выделен штриховкой. Симметрическая разность не содержит общих членов классовА иВ.
При объединении могут встретиться следующие 6 случаев (рис. 9—14).
Пересечение («умножение») классов
Общей частью, или пересечением, двух классов называется класс тех элементов, которые содержатся в обоих данных множествах, т. е. это множество (класс) элементов, общих обоим множествам18. Пересечение обозначается 
или 
— пустое множество. При пересечении могут встретиться следующие 6 случаев (рис. 15—20, где результат пересечения заштрихован).
Например, операция пересечения классов «школьник» (А) и «футболист»(В) заключается в нахождении таких людей, которые одновременно являются и школьниками, и футболистами. Это изображено на рис. 17, где общая часть классовА иВ заштрихована.
Основные законы логики классов. Законы операций объединения и пересечения
1. Законы идемпотентности.
А + А = А. А х А = А.
В школьном курсе алгебры таких законов нет. В логике первый из этих законов означает следующее. Если мы к классу «дом» прибавим класс «дом», то получим класс «дом», т. е. домов не станет в два раза больше и объем понятия «дом» останется прежним.
2. Законы коммутативности. Эти законы существуют в алгебре, в арифметике, в теории множеств и в логике классов.
А + В = В+А. А В=В А.
Если мы к классу «растение» прибавим класс «животное», то получим класс «организм»; тот же самый класс получим, если мы к классу «животное» прибавим класс «растение».
3. Законы ассоциативности. Они существуют в арифметике, алгебре, теории множеств и в логике классов.
(А+В) + С = А + (В+С). (AхB) хC=Aх (Bх С).
4. Законы дистрибутивности.
(A+B)C=(Aх С)+(Bх С). (AхB) +C=(A+ С) х (B+С).
5. Законы поглощения. Этих законов нет в арифметике и в школьном курсе алгебры.
А + (А х В)=А. А х (А+В)=А.
Доказательство этих законов осуществляется графическим методом. Два закона поглощения для «сложения» и «умножения» классов иллюстрируются графически на рис. 21 и 22.
Промежуточный результат изображен горизонтальной штриховкой. В первом законе поглощения он равен А В, а во втором — равенА + В. Конечный результат изображен вертикальной штриховкой; он равен классуА.
Вычитание классов
Рассмотрим два множества (класса) А иВ, из которыхВ может и не быть частьюА. Разностью множеств (классов)А иВ называется множество тех элементов классаА, которые не являются элементами классаВ. Разность обозначаетсяА —В.
Могут встретиться следующие пять случаев (если классы А иВ не пусты и не универсальны).
1-й случай (рис. 23). КлассА включает в себя классВ. Тогда разностьюА — В будет заштрихованная частьА, т. е. множество тех элементов, которые не сутьВ. Например, если мы из множества звуков русского языка(А) вычтем множество гласных звуков(В), то получим множество согласных звуков, изображенное на чертеже в виде заштрихованного кольца.
2-й случай (рис. 24). Разностью двух перекрещивающихся классов будет заштрихованная частьА. Например, разность множеств «рабочий»(А) и «рационализатор»(В) даст множество рабочих, которые не являются рационализаторами.
3-й случай (рис. 25). Если классА полностью включен в классВ и классВ полностью включен в классА, то эти классы (множества) равны (тождественны). Тогда разностьА -В даст пустой, или нулевой, класс, т. е. класс, в котором нет ни одного элемента. Например, если мы из класса «сосна» вычтем класс «сосна», то разностьА—В будет равна пустому классу.
4-й случай (рис. 26). КлассА и классВ не имеют общих элементов.
Тогда разность А—В=А, так как всякий элемент классаА не является элементом классаВ. Например, разность класса «стол»(А) и класса «стул»(В) равна классу «стол»(А).
В результате «вычитания» классов, соответствующих понятиям, находящимся в отношении противоположности [«низкий дом» (А),«высокий дом»(В)] или противоречия [«одушевленный предмет»(А), «неодушевленный предмет»(В)], разностьА— В также равнаА (рис. 27, 28).
5-й случай (рис. 29). Если объем классаА меньше объема классаВ, то в результате вычитания получим пустой класс, так как нет элементов классаА, которые не являлись бы элементами классаВ. Например, разность класса «личное местоимение»(А) и «местоимение»(В) дает пустой класс.
Для операции вычитания классов справедливы следующие законы:
В интерпретации логических алгебр посредством классов запись 
обозначаетвключение классаА в классВ; 
обозначаетэквивалентность классов (А тогда и только тогда, когдаВ ).
Дополнение к классу А
Дополнением к классу А называется классА" который, будучи сложенным сА, дает рассматриваемую область предметов (эту область обозначим 1), а в пересечении с классомА дает 
т. е. для которого 
ОткудаА' = 1- А, поэтому
операцию дополнения к классу А можно рассматривать как частный случай операции «вычитания» (из универсального класса). Если от класса целых чисел (1) отнять класс четных чисел(А), то мы получим класс нечетных чисел (т. е.А" поскольку всякое целое число четное или нечетное и нет таких четных чисел, которые были бы нечетными). Графически это можно изобразить так, что заштрихованная часть будет обозначать дополнение кА,т. е.A' (рис. 30).
Для операции дополнения кроме указанных выше установлены и следующие законы: 