Приклади ймовірності появи хоча б однієї події
Приклад 1. Ймовірності потрапляння у ціль з трьох рушниць такі: р1 = 0,8; р2 = 0,7; р3 = 0,9. Знайти ймовірність хоча б одного потрапляння (подія А) з трьох рушниць.
Розв'язок:
Ймовірності потрапляння в ціль з кожної рушниці незалежні. Ймовірності промахів кожної з рушниць:
q1 = 1 - p1 = 0,2;
q2 = 1 - p2 = 0,3;
q3 = 1 - p3 = 0,1.
Шукана ймовірність
Р(А) = 1 - q1*q2*q3 = 1 - 0,2*0,3*0,1 = 0,994.
Приклад 2. В типографії є 4 друкарські машини. Для кожної машини ймовірність того, що вона в даний час працює, становить 0,9. знайти ймовірність тог, що в даний момент працює хоча б одна машина (подія А).
Розв'язок:
Події "машина працює" та "машина не працює" - протилежні. Тому сума їх ймовірностей дорівнює 1: p + q = 1. Тоді ймовірність. Що машина не працює 1 - 0,9 = 0,1.
Оскільки машин 4, шукана ймовірність: Р(А) = 1 - q4 = 1 - 0,14 = 0,9999.
Приклад 3. Ймовірність того, що при одному постілі стрілець потрапляє в ціль, становить 0,4. Скільки постірілів має здійснити стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,9 він потрапив у ціль хоча б один раз?
Розв'язок:
Позначимо як А подію "при n пострілах стрілець потрапляє в ціль хоча б один раз". Події, які полягають у потраплянні в ціль при пострілах незалежні. Тоді Р(А) = 1 - qn. Q = 1 - 0,4 = 0,6.
1 - 0,6n ≥ 0,9. Тоді 0,6n ≤ 0,1.
Прологарифмуємо: n * lg0,6 ≤ lg 0,1.
Оскільки lg 0,6 < 1,маємо n ≥ (lg 0,1 / lg 0,6) = -1 / 1,7782 =
= (-1) / (-0,2218) = 4,5.
Таким чином. треба зробити не менше 5 пострілів.
Приклад 4. Ймовірність того, що подія з'явиться хоча б один раз у трьох незалежних у сукупності дослідах, складає 0,936. знайти ймовірність появи події в одному досліді (передбачається, що у всіх дослідженнях ймовірність появи події однакова).
Розв'язок:
Оскільки події, про які йдеться мова, незалежні в сукупності, то можна застосувати формулу
Р(А) = 1 - qn, де, відповідно, n = 3.
Відповідно, Р(А) = 0,936 = 1 - q3 → q3 = 1 - 0,936 = 0,064 → q = 0,4.
Звідси: р = 1 - q = 1 - 0,4 = 0,6.
Завдання 1. Ймовірність того, що стрілець при одному пострілі потрапляє в мішень, становить р = 0,9. Стрілець зробив 3 постріли. Знайти ймовірність того, що всі постріли були влучними.
Розв'язок:
Згідно з теоремою множення незалежних подій,
Р(А) = Р(А1) * Р(А2) * Р(А3) = (0,9)3 = 0,729.
Завдання 2. Кинуто монету та гральний кубик. Знайти ймовірність співпадіння подій "з'явився "герб" та "з'явилась цифра 6".
Розв'язок:
Ці події незалежні.
Ймовірність появи герба = 1 / 2. Ймовірність появи цифри 6 = 1 / 6.
Згідно з тероемою множення незалежних подій: Р(А) = (1/2) * (1/6) = = 1 / 12.
Завдання 3. У двох ящиках містяться деталі: в першому - 10 (з них 3 стандартні), у другому - 15 (з них 6 - стандартні). З коного ящика навмання виймають деталі. Знайти ймовірність того, що обидві деталі виявляться стандартними.
Розв'язок:
Ймовірність того, що з першого ящика витягнуть стандартну деталь становить 3 / 10. У випадку другого ящика - 6/15. Оскільки події незалежні, Р(А) = (3/10) * (6/15) = 0,3 * 0,4 = 0,12.
Завдання 4. У студії телебачення 3 телевізійні камери. Для кожної камери ймовірність того, що вона ввімкнена в даний момент, становить p = 0,6. знайти ймовірність того, що вданий момент ввімкнена хоча б одна камера (подія А).
Розв'язок:
Події незалежні. Р(А) = 1 - qn. Відомо, що протилежна подія - камера вимкнена, тоді q = 0,4 для кожної камери. Відповідно, Р(А) = 1 - 0,43 = = 1 - 0,064 = 0,936.
Завдання 5. Завод виготовляє 95% стандартних деталей, причому з них 86% - першого гатунку. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь, виготовлена на цьому заводі, буде першого гатунку.
Розв'язок:
Ймовірність того, буде витягнуто стандартну деталь становить 0,95.
Ймовірність, що стандартна деталь є першого гатунку - 0,86.
Ймовірність витягнути стандартну деталь першого гатунку = 0,95 * 0,86 = 0,817.
Завдання 6. Чому дорівнює ймовірність того, що при киданні 3 кубиків цифра 6 з'явиться хоча б у одному випадку?
Розв'язок:
Можна застосувати теорему про ймовірність появи хоча б однієї події. Тоді матемемо дві протилежні події "з'явилась хоча б одна цифра 6" і "не з'явилося жодної цифри 6", сума ймовірностей яких становитиме 1. Ймовірність того, що при киданні одного кубика з'явиться цифра 6 становить 1/6. Відповідно, ймовірність непояви цифри 6 становитиме 5/6. У трьох киданнях кубика матимемо (5/6)3.
Матимемо: Р(А) = (1 - (5/6)3) = 1 - 125/216 = 91/216.
Завдання 7. Монету кидають до тих пір, поки 2 рази підряд вона не випаде одним і ти же боком. Знайти ймовірність події: дослід закінчився до 6-го кидання.
Розв'язок:
Маємо 2 протилежні події: "вдалось отримати позитивний результат до 6-го кидання монети" та "не вдалось ...". Ймовірність у одному досліді отримати і "герб", і "решку" однакова - 1/2.
Р(А) = 1 - qn = 1 - ((1/2)4 - 1/2 = 1 - 1/16 = 15/16. (ступінь 4, бо повинні отримати у разі одного з кидань повтор попереднього 5 -1).
Завдання 8. З цифр 1, 2, 3, 4, 5 спочатку вибирається одна, потім з тих, що залишились, ще одна. Вважається, що всі 20 можливих результатів рівноможливі. Знайти ймовірність того, що випаде непарна цифра а) в перший раз; б) у обидва рази.
Розв'язок:
А) Парних цифр - 2 , непарних - 3, Р(А) = 3/5.
Б) якщо в першому і другому випадках випадали непарні цифри: (3/5)*(2/4) = (3/5)*(1/2) = 3/10.
Завдання 9. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець потрапить в десятку, становить 0,6. Скільки пострілів має зробити стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він потрапив у десятку хоча б раз?
Розв'язок:
Маємо 2 події: "стрілець потрапив в 10 хоча б один раз" і "стрілець не потрапив жодного разу".
1 - (0,4)n ≥ 0,8. n = 2 → p = 0,84 ≥ 0,8.
Завдання 10. Три електричні лампочки послідовно ввімкнені в електричний ланцюг. Ймовірність того, що будь-яка одна лампочка перегорить, якщо матиме місце зростання напруги в ланцюзі, становить 0,6. Знайти ймовірність того, що при підвищенні напруги в ланцюзі не перегорить жодна лампочка.
Розв'язок:
1 - qn = 1 - (0,4)3 = 1- 0,016 = 0,936.
Завдання 11. Ймовірність того, що подія А з'явиться хоча б раз у двох незалежних випробуваннях становить 0,75. Знайти ймовірність появи події у одному дослідженні, якщо відомо, що ймовірність появи події у обох випадках однакова.
Розв'язок:
Ймовірність непояви події хоч раз у двох випробуваннях Р(В) = 1 - q2 = 1 - (0,25) → у одному випробуванні: √1 - √0,25 = 0,5. Відповідно, ймовірність появи події у одному випробуванні: р = 1 - q = 0,5.
Завдання 12. Три команди А1, А2 та А3 спортивного товариства А змагаються з трьома командами товариства В. Ймовірності того, що команди А отримають перемогу такі: А1 з В1 - 0,8, А2 з В2 - 0,4, А3 з В3 - 0,4. Для перемоги потрібно виграти 2 матчі з 3 (нічиї не враховуються). Перемога якого з товариств більш ймовірна?
Розв'язок:
Ймовірності перемог для команд товариства В: В1 - 0,2, В2 - 0,6, В3 - 0,6.
Для однієї події: Р(А) = 0,8*0,4*0,6 + 0,8*0,4 *0,6+0,2*0,4*0,4 =
Р(В) = 0,2*0,6*0,4 + 0,2*0,4*0,6 + 0,8*0,4*0,4 =
Завдання 13. Ймовірність потрапляння в ціль першого стрільця при одному пострілі становить 0,8, а другого - 0,6. Знайти ймовірність того, що ціль буде вражена тільки одним стрільцем.
Розв'язок:
Ймовірність промаху другим стрільцем становить 1 - 0,6 = 0,4.
Тоді для першого стрільця: Р(А) = 0,8 * 0,4 = 0,32. Для другого стрільця: Р(В) = 0,2 * 0,6 = 0,12.
Ймовірність потрапляння тільки одного стрільця:
Р(С) = Р(А) + Р(В) = 0,44.
Звдання 14. З послідовності чисел 1, 2 ... n навмання одне за другим вибирають 2 числа. Знайти ймовірність того, що одне з них менше цілого додатнього числа k, інше - більше k, де 1< k < n.
Відповідь: [2(k - 1)(n - k)] / [n(n - 1)]
Припущення: а) перше число <k, а друге >k; б) перше число >k, а друге <k.
Розв'язок:
Завдання 15. Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що виріб виявиться нестандартним, становить 0,1. Знайти ймовірність того, що а) з трьох перевірених виробів тільки один виявиться нестандартним; б) нестандартним виявиться тільки четвертий по порядку перевірений виріб.
Розв'язок:
А) Р(А) = р1*q2*q3 + q1*p2*q3 + q1*q2*p3 = 3*(0,1*0,9*0,9) = 0,243.
Б)