Теоремы сложения и умножения вероятностей

1) Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен на «отлично», равна 0,7, для второго – 0,6, для третьего – 0,2. Найти вероятность, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним студентом; б) хотя бы одним студентом.

2) Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0,75, второго – 0,85, третьего – 0,95. Найти вероятность, что: а) откажут два станка; б) хотя бы один станок откажет в работе.

3) На спортивных соревнованиях вероятность показать рекордный результат для первого спортсмена – 0,5, для второго – 0,3, для третьего – 0,1. Найти вероятность, что рекорд будет установлен: а) одним спортсменом; б) хотя бы одним спортсменом.

4) В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6 тракторов 1 требует ремонта. Из каждой бригады наугад выбирают по одному трактору. Найти вероятность, что: а) оба трактора исправны; б) хотя бы один исправен.

5) Семена высшего сорта всходят с вероятностью 0,8; 1-го сорта ― с вероятностью 0,7; 2-го сорта ― с вероятностью 0,6. Определить вероятность того, что из трех посаженных семян разного сорта взойдет: а) только одно; б) хотя бы одно из семян.

6) Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,8; при втором ― 0,75; при третьем ― 0,6. Найти вероятность поражения цели: а) всеми тремя выстрелами; б) хотя бы двумя выстрелами.

7) Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; для второго ― 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.

8) Из партии товаровед наугад отбирает 3 изделия. Вероятность того, что первое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8; для второго изделия ― 0,85; для третьего ― 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет: а) только 2 изделия высшего сорта; б) хотя бы одно изделие высшего сорта.

9) Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания в танк при одном выстреле для первого орудия ― 0,5; для второго – 0,4. Найти вероятность того, что при залпе: а) попадут оба орудия; б) будет хотя бы одно попадание в цель.

10) В двух группах обучается по 20 студентов. В первой группе сессию на «отлично» сдали 7 человек, во второй – 4 человека. Из каждой группы наугад вызывают по одному студенту. Найти вероятность, что: а) оба студента отличники; б) хотя бы один отличник.

11) В коробке находятся жетоны с цифрами от 1 до 10. Наугад извлекают два жетона. Найти вероятность, что будут вынуты: а) оба жетона с нечетными номерами; б) хотя бы один жетон с четным номером.

12) В 1-ом ящике находятся 14 изделий, из них 6 с браком; во 2-ом ящике — 20 изделий, из них 4 с браком; в 3-ем ящике ― 15 изделий, из них 3 с браком. Из каждого ящика наугад вынимают по одному изделию. Найти вероятность того, что: а) хотя бы одно изделие без брака; б) только 2 изделия без брака.

13) Вероятность того, что при первом измерении физической величины будет допущена ошибка, равна 0,2; при втором измерении ― 0,3; при третьем измерении ― 0,4. Найти вероятность того, что будет допущена ошибка: а) только в одном измерении; б) хотя бы в одном измерении.

14) Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Определить: а) вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей; б) вероятность того, что не придет никто.

15) Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,7. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0,05. Найти вероятность того, что стрелок попадет: а) хотя бы одним выстрелом; б) только один раз.

16) В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся стандартными; б) только одна деталь будет стандартной.

17) Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Найти вероятность, что правильно ответит на вопрос: а) только первый студент; б) хотя бы один студент.

18) Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,35, на третьем – 0,15. Найти вероятность, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) хотя бы на одном предприятии.

19) Стрелок стреляет три раза по удаляющейся от него мишени. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность попадания в мишень: а) хотя бы один раз; б) два раза.

20) Вероятность поражения цели 1-м стрелком при одном выстреле равна 0,8; 2-м – 0,7. Найти: а) вероятность того, что цель при залпе будет поражена только одним стрелком; б) вероятность того, что цель будет поражена, если для этого достаточно, хотя бы одного попадания при залпе.

21) Студент разыскивает нужную ему формулу в 3 справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м справочнике, равна 0,6; во 2-м ― 0,7; в 3-м ― 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) в двух справочниках; б) хотя бы в одном справочнике.

22) Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 4 карты масти «пики». Рассмотреть два случая: а) карты не возвращаются; б) карты возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением.

23) Слово «абракадабра» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами тщательно перемешиваются и из них извлекаются по очереди 5 карточек. Какова вероятность получить слово «барак», если: а) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением; б) выбранные карточки не возвращаются.

24) В первой урне из 10 шаров, 6 серного и 4 белого цвета, во второй – 3 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны наугад извлекается один шар. Найти вероятность, что взяты: а) 2 белых шара; б) хотя бы один шар черный.

25) Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятности попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,35; 0,4. Найти вероятность: а) попадания в первую или третью зону; б) промаха в мишень.

26) В коробке 12 карандашей трех цветов, по 4 карандаша каждого цвета. Наугад вынимают три карандаша. Найти вероятность, что все карандаши окажутся разного цвета. Рассмотреть два случая: а) карандаши возвращаются в коробку; б) карандаши не возвращаются в коробку.

27) Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,6, из второго – 0,65, из третьего – 0,7. Цель будет поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность: а) поражения цели; б) промаха одним или двумя орудиями.

28) Три стрелка стреляют в одну мишень. Известно, что вероятность попадания с одного выстрела равна: 0,8 ― у 1-го стрелка, 0,7 ― у 2-го стрелка, 0,6 ― у 3-го стрелка. Найти вероятность того, что в результате одновременного выстрела всех стрелков в мишени появится: а) только одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина.

29) Производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при первом выстреле равна 0,8. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0,1. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено: а) 4 выстрела; б) не более 3 выстрелов.

30) В первой урне 5 красных, 3 белых и 2 черных шара. Во второй урне – 2 белых и 3 черных шара. Из первой урны взято 2 шара, из второй – 1. Найти вероятность, что: а) все шары одного цвета; б) все шары разного цвета.