Аксиомы теории вероятностей

Элементы комбинаторики

Для успешного решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики — раздела математики, изучающего, в частности, методы решения комбинаторных задач— задач на подсчет числа различных комбинаций.

Пусть А_i (i = 1,2,..., n) — элементы конечного множества. Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач.

Правило суммы. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, элемент A₂ — другими n₂ способами, А₃ — отличными от первых двух n₃ способами и т.д., А_k — п_k способами, отличными от первых (k—l), то выбор одного из элементов: или Л₁ или A₂,..., или А_k может быть осуществлен n₁+n₂+...+n_k способами.

Пример В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них — 1-го сорта, 120 — 2-го, а остальные — 3-го сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?

Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена n₁=150 способами, 2-го сорта — n₂=120 способами. По правилу суммы существует n₁+n₂ = 150+120=270 способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.

Правило произведения. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, после каждого такого выбора элемент A₂ может быть выбран n₂ способами и т.д., после каждого (k—l) выбора элемент А_k может быть выбран n_k способами, то выбор всех элементов А₁, A₂,...,A_k в указанном порядке может быть осуществлен n₁n₂n_k способами.

Пример. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, его заместителем — любой из оставшихся 29, а профоргом — любой из оставшихся 28 учащихся, т.е. n₁=30, n₂ =29, n₃=28. По правилу произведения общее число способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно n₁n₂n₃= 30 • 29 • 28 = 24360 способов.

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов (0< m < n). Например, из 5 элементов а, Ь, с, d, e могут быть отобраны комбинации по 2 элемента — ab, cd, eb, ba, се и т.д., ; по 3 элемента — abc, cbd, cba, ead и т.д.

Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем, и другим), то такие комбинации называют размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов по m равно

или

Где n! равно произведению n первых чисел натурального ряда, т.е. n! = 1*2...n.

Пример Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования (или и тем, и другим), т.е. является размещением из 11 элементов по 5.

Число вариантов расписаний, т.е число размещений из 11 по 5, находим по формуле

Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m. Число сочетаний из n элементов по m равно

или

Пример В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т е. представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. Их число находим по формуле:

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно

Пример Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, те. является перестановкой из 7 элементов Их число по формуле.Р₇=1*2*3*4*5*6*7=5040

Если в размещениях (сочетаниях) из n элементов по m некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из n элементов по m.

Например, из 5 элементов а, b, с, d, e по 3 размещениями с повторениями будут abc, cba, bed, cdb, bbe, ebb, beb, ddd и т д, сочетаниями с повторениями будут abc, bed, bbe, ddd и т д

Число размещений с повторениями из n элементов по m равно

а число сочетаний с повторениями из n элементов по m равно

Пример В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения Призов, если по каждой номинации установлены а) различные призы; б) одинаковые призы.

Решение а) Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом фильмов, так и их порядком по номинациям (или и тем, и другим), причем одни и те же фильмы могут повторяться несколько раз, т.е. представляет размещение с повторениями из 10 элементов по 5. Их число равно

б) Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок следования фильмов в комбинации 5 призеров значения не имеет, и число вариантов распределения призов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5:

Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n₁ раз, 2-й элемент — n₂ раз, k-й элемент — n_k раз, причем n₁+n₂+…+n_k=n, то такие перестановки называют перестановками с повторениями из n элементов. Число перестановок с повторениями из n элементов равно

Пример. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4,5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 — по 2 раза

Решение. Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр (причем n₁=3, n₂=2, n₃=2, а их сумма равна 7), т.е. является перестановкой с повторениями из 7 элементов. Их число равно

Действия над событиями

Введем понятие суммы, произведения и разности событий.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если A и В — совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В — несовместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А, или события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Если А, В, С — совместные события, то их произведение ABC означает наступление и события А, и события В, и события С.

Разностью А — В двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет.

Пример Победитель соревнования награждается: призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события: а) А + В; б) ABC; в)АС-В?

Решение а) Событие А+В состоит в награждении победителя или призом, или премией, или и тем, и другим.

б) Событие ABC состоит в награждении победителя одновременно и призом, и премией, и медалью.

в) Событие АВ— С состоит в награждении победителя одновременно и призом, и премией без выдачи медали.

3. Основы теории множеств.

В своей практической деятельности, мы постоянно имеем дело с совокупностями объектов (элементов) самой различной природы: с совокупностями материальных предметов, людей, ситуаций, исходов опыта, принимаемых решений, правил поведения (стратегий) и т.п.

Общие свойства таких совокупностей, не зависящие от природы образующих их элементов, являются предметом исследования теории множеств, которая представляет собой один из основных разделов современной математики.

Множеством называется определенная совокупность элементов. Обозначаются множества прописными латинскими буквами А, В, С и т.д., а элементы множеств – строчными латинскими буквами а, b, x, m. Природа элементов в теории множеств не играет никакой роли.!

Принадлежность элемента к множеству записывается в виде: mÎF и наоборот mÏF.

Если число элементов множества может быть выражено числом, то такое множество называется конечным. В противном случае множество называется бесконечным. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом .

Пусть имеем два множества А и В, такие, что всякий элемент, входящий в А, обязательно содержится и в В. Тогда говорят, что множество А является подмножеством множества В: АÌВ. При этом множество В может содержать элементы и не принадлежащие А.

Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов А=В.

Пересечением множеств А и В есть множество J всех элементов принадлежащих одновременно и А и В. J=AÇB.

Если множества А и В не имеют общих элементов, т.е. не пересекаются, то J= AÇB= .

Объединением множеств А и В является множество R всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. R=AÈB.

Перечислим основные законы алгебры множеств:

Закон коммутативности АÇВ=ВÇА АÈВ=ВÈА.

Закон ассоциативности: (АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС) (АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС)

Закон дистрибутивности: АÇ(ВÇС)=(АÇВ)Ç(АÇС)

АÈ(ВÈС)=(АÈВ)È(АÈС)

Аксиомы теории вероятностей.

Пусть F – множество случайных событий, среди которых произвольно выделим случайное событие А.

Аксиома 1: Каждому случайному событию А соответствует неотрицательной число Р(А), называемое его вероятностью.

Заметим, что вопрос о методе определения значения вероятности этой (и последующими) аксиомой не решается; для этого в каждом конкретном случае могут использоваться уже изученные нами подходы.

Аксиома 2: Вероятность достоверного события равна единице, т.е. Р(U)=1.

Эта аксиома хорошо поясняется как в случае опыта с равновозможными исходами, так и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие U достоверно, то оно имеет место во всех m исходах опыта и его вероятность равна Р(U)=m/m=1. Это событие, кроме того, имеет место при всех реализациях опыта, каково бы число их не было. Поэтому n(U)=N/N=1 и, следовательно Р(U)=1.

Аксиома 3 (аксиома сложения): Вероятность суммы попарно несовместных событий А₁ А₂…А_n равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А₁+А₂+…А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Например, в опыте с m равновозможными исходами, к₁ исходов благоприятствуют событию А₁, а к₂ исходов – событию А₂. Тогда Р(А₁)=к₁/m, и Р(А₂)=к₂/m. Для события А=А₁+А₂, благоприятствующими исходами являются исходы суммы к=к₁+к₂, и Р(А)=(к₁+к₂)/m=Р(А₁)+Р(А₂).

Этот результат легко распространяется и на n>2 событий.

Из аксиомы сложения следует ряд важных следствий.

Следствие 1 Вероятность невозможного события равна нулю. Это следствие вполне соответствует нашему интуитивному представлению о вероятности.