Непрерывные случайные величины
9.1. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения 
в интервале (0, π/3); вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (π/6, π/4).
9.2. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:
Найти плотность распределения f(x).
9.3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:
Найти плотность распределения f(x).
9.4. Непрерывная случайная величина X в интервале (0, ∞) задана плотностью распределения 
, вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (1, 2).
9.5. Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале (-π/2, π/2) равна 
; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях X примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4).
9.6. Задана плотность распределения случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
9.7. Задана плотность распределения случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
9.8. Задана плотность распределения случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
9.9. Задана плотность распределения случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
9.10. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством 
. Найти постоянный параметр С.
9.11. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством 
. Найти постоянный параметр С.
9.12. Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале (0, π/2) равна 
; вне этого интервала f(x)=0. Найти постоянный параметр С.
9.13. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана в интервале (0,1) равенством 
; вне этого интервала f(x)=0. Найти постоянный параметр С.
9.14. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=2x в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание величины X.
9.15. Случайная величина X задана плотностью распределения 
в интервале (0,2); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание величины X.
9.16. Случайная величина X в интервале (-c,c) задана плотностью распределения 
. Вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание величины X.
9.17.Случайная величина X задана плотностью вероятность (распределение Лапласа) 
. Найти математическое ожидание величины X.
9.18. Случайная величина X задана плотностью распределения 
в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) параметр C; б) математическое ожидание величины X.
9.19. Найти математическое ожидание случайной величины X, заданной функцией распределения
9.20. Случайная величина X, возможные значения которой неотрицательны, задана функцией распределения 
. .Найти математическое ожидание величины X.
9.21. Случайная величина X задана плотностью распределения 
в интервале (0,π); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции 
(не находя предварительно плотности распределения Y).
9.22. Случайная величина X задана плотностью распределения 
в интервале (0,π/2); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения Y).
9.23. Случайная величина X задана плотностью распределения 
в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции 
(не находя предварительно плотности распределения Y).
9.24. Случайная величина X задана плотностью распределения 
в интервале (0,π/4); вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) моду; б) медиану X.
9.25. Случайная величина X в интервале (2,4) задана плотностью распределения: 
. Вне этого интервала f(x)=0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины X.
9.26. Случайная величина X в интервале (-3,3) задана плотностью распределения: 
. Вне этого интервала f(x)=0. а) Найти дисперсию X; б) что вероятнее: в результате испытания окажется X<1 или Х>1?
9.27. Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (a,b) постоянное значение, равное C; вне этого интервала f(x)=0. Найти значение постоянного параметра C.
9.28. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
9.29. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минут. Найти вероятность того, что в данном мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.
9.30. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).
9.31. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно а=3 и среднеквадратическое отклонение σ=2. Написать плотность вероятности X.
9.32. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что M(Х)=3, D(X)=16.
9.33. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью 
. Найти математическое ожидание и дисперсию X.
9.34. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12,14).
9.35. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15,25).
9.36. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали
А) больше 55 мм; Б) меньше 40 мм.
9.37. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ=10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
9.38. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
9.39. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=20 мм и математическим ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
9.40. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ=0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
9.41. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ=5 мм и математическим ожиданием a=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
9.42.Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и, распределены нормально со среднеквадратическими отклонениями, соответственно равными 6 м и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.
9.43. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а=10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?
9.44. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а=25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35, 45)?
9.45. Cлучайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10 и среднеквадратическим отклонением σ=5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина X в результате испытания.
9.46. Случайная величина X распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ=5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.
9.47. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр X. Считая, что X – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием a=10 мм и среднеквадратическим отклонением σ=0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
9.48. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ=5.
9.49. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ=6.
9.50. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x)=0 при x<0, 
при x≥0; однако он забыл, чему равна постоянная C. Требуется найти С.
9.51. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины T – времени ожидания очередной машины контролером, – если поток машин простейший, и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону 
.
Контрольная работа по вероятности №1
1. Девять запечатанных конвертов с предложениями цены на аренду участков для бурения нефтяных скважин поступили утром в специальное агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с предложением цены?
2. На железнодорожной станции имеется 6 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них четыре поезда?
3. В автопробеге участвуют 3 автомобиля: первый может сойти с маршрута с вероятностью 0.15; второй – с вероятностью 0.05; третий с вероятностью – 0.1. Определить вероятность того, что к финишу прибудут
А) только один автомобиль
Б) два автомобиля
В) по крайней мере два автомобиля?
4. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет не больше 6?
5. В большом универмаге установлен скрытый «электронный глаз» для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0.98, а второй – с вероятностью 0.94, оба – с вероятностью 0.93. Чему равна вероятность того, устройство сканирует по крайней мере одного из двух входящих вместе покупателей.
Контрольная работа по вероятности №2
1. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:
| Х | -2 | ||
| Р | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
Найти функцию распределения F(х), М(х), и D(х).
2. В урне 5 белых и 6 черных шаров. Вынули 3 шара. Случайная величина Х число вынутых черных шаров. Составить закон распределения X.
3. Функция распределения случайной величины Х 
Найти М(х) и 
4. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
5. Нормально распределенная случайная величина Х задана функцией . Найти: Р (-3<Х<2)