Примеры решения задач к практической работе №2

Пример 1. Человек хотел позвонить по телефону, но забыл одну цифру в номере и набрал её наудачу. Какова вероятность, что цифра набрана верно?

Решение: Т.к. в десятичной системе счисления 10 цифр (0..9), а набрана одна цифра то число благоприятных исходов равно единице, а общее число исходов равно 10. Применяя формулу (5) получаем:

.

Ответ: вероятность того, что набрана правильная цифра, равна 0,1.

Пример 2. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наудачу шар будет красным, зеленым или белым.

Решение: Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда, в соответствии с формулой (5) получаем:

;

;

.

Ответ: вероятности событий А, В, С соответственно равны , , .

Пример 3. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, 4 стандартных.

Решение: Перед решением задачи составим схему условия (см. рисунок 1)

7 станд. 3 нест. 4 станд. и 2 нест.

Рис. 1 – Графическое изображение условия задачи

Обозначим через А – событие – из шести деталей четыре стандартных.

Применяя формулу классического определения вероятности (5), получаем:

,

,

.

Ответ: вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей, четыре стандартных, равна .

Пример 4. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из букв: а, т, м, р, с, о. Найдите вероятность того, что на четырёх, вынутых по одной и расположенных в ряд карточках можно прочесть слово «трос».

Решение: Событие А - получение слова «трос». Применяя формулу (5) получаем:

,

,

.

Ответ: вероятность того, что на четырёх, вынутых по одной и расположенных в ряд карточках можно прочесть слово «трос», равна .

2.3 Ход работы

1) Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебники, данные методические указания).

2) Выполнить задание по своему варианту.

3) Составить отчет по проделанной работе.

4) Ответить на контрольные вопросы к данной работе.

5) Защитить выполненную работу.

2.4 Содержание отчета

1) Тема.

2) Цель работы.

3) Ход работы.

4) Решение своего варианта.

2.5 Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

2. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Из ящика вынимаются наугад 3 шара. Определить вероятность, что два шара белых, один черный.

3. В группе шесть мужчин и четыре женщины. Для участия в испытаниях отобраны семь человек. Какова вероятность того, что среди них есть три женщины?

4. На полке 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?

5. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из букв: А, Н, О, П, С, Т, Я. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад и расположенных вряд карточек можно будет прочесть слово «НАСТЯ».

6. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

Вариант 2

1. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет однозначный номер.

2. В ящике 10 белых и 5 черных шаров. Из ящика вынимаются наугад 3 шара. Определить вероятность, что два шара черных, один белый.

3. Имеется партия, состоящая из 15 деталей, среди которых четыре бракованные. Какова вероятность, что из пяти наудачу выбранных деталей две бракованных?

4. На подносе 5 пирожков с картошкой и 4 с капустой. Наудачу взяли 3 пирожка. Какова вероятность того, что среди них хотя бы 2 с капустой?

5. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из букв: А, О, П, К, Т, Я. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад и расположенных вряд карточек можно будет прочесть слово «ПЯТАК».

6. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

Вариант 3

1. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что ученику достанется на экзамене выученный билет?

2. В ящике 8 белых и 3 черных шаров. Из ящика вынимаются наугад 4 шара. Определить вероятность, что три шара белых, один чёрных.

3. В группе 15 студентов, среди которых 6 отличников. По списку наудачу отобраны десять студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов четыре отличника.

4. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

5. На каждой из восьми одинаковых карточек напечатана одна из букв: Е, К, Л, М, Н, О, П, Р. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад и расположенных вряд карточек можно будет прочесть слово «ПОКЕР».

6. По цели произведено 30 выстрелов, причём относительная частота попадания в цель оказалось равная 0,55. Сколько выстрелов попало в цель?

Вариант 4

1. Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет два.

2. В ящике 7 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынимаются наугад 5 шаров. Определить вероятность, что два шара черных, три белых.

3. В ящике имеется 14 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что извлечённые детали окажутся окрашенными.

4. Четыре билета на ёлку распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками. Какова вероятность того, что билеты достанутся 2 мальчикам и 2 девочкам?

5. На каждой из девяти одинаковых карточек напечатана одна из букв: И, К, У, М, Н, Т, П, Р, А. Найти вероятность того, что из шести взятых наугад и расположенных вряд карточек можно будет прочесть слово «МИНУТА».

6. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,7. Найти число годных приборов, если всего было проверено 150 приборов.

2.6 Вопросы к защите практической работы №2

1) Какие события называют случайными? Примеры.

2) Дать определение совместных и несовместных событий. Примеры.

3) Что такое полная группа событий? Пример.

4) Какие события называются равновозможными?

5) Классическое определение вероятности.

6) Свойства классического определения.

7) Относительная частота события. Устойчивость относительной частоты.

8) Отличие между вероятностью и относительной частотой.

9) Ограниченность классического определения вероятности.

10) Геометрическая и статистическая вероятности.

Практическая работа №3

Тема: Вычисление вероятностей сложных событий.

Цель работы: Изучить понятие противоположного события, условной вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, совместные и несовместные события, методику вычисления вероятности суммы совместных событий, формулу полной вероятности, формулу Байеса. Научиться находить условные вероятности сложных событий, представлять сложные события через элементарные события с помощью операций над событиями.

3.1 Теоретические сведения к практической работе №3

Сложным называется событие, состоящее в появлении нескольких простых событий.

3.1.1 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

, (7)

где – вероятность появления события А;

– вероятность появления события В.

3.1.2 Противоположные события

Противоположными называется два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через , то другое принято обозначать .

Теорема о полной группе. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

, (8)

где , , …, – вероятности событий образующих полную группу.

Теорема о противоположных событиях. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

, (9)

где – вероятность события А;

– вероятность противоположного события.

3.1.3 Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совме­щении) этих событий. Например, если А - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предпо­ложении, что первое событие уже наступило:

, (10)

где – вероятность события А;

– условная вероятность события В.

3.1.4 Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, причем вероятности появления событий известны.

Теорема.Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

, (11)

где , , …, – вероятности противоположных событий.

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

, (12)

где – вероятность противоположного события;

– количество проведённых испытаний.

3.1.5 Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий которые образуют полную группу. Пусть известны веро­ятности этих событий и условные вероятности , , …, события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

, (13)

где , , …, – вероятности событий ;

, , …, – условные вероятности события А.

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

3.1.6 Формулы Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Условная вероятность любой гипотезы (i=1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле:

, (14)

где – вероятности гипотез (i=1, 2, …, n);

, , …, – условные вероятности события А.

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.