Теоремы умножения и сложения вероятностей

1. Два охотника пошли на охоту, увидели медведя и одновременно выстрелили. Медведь убит, но в шкуре одна дыра, то есть попал только один из охотников. У первого вероятность попадания 0.8, у второго – 0.4. Шкуру продали за 70 рублей. Как поделить деньги между охотниками?
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.7, а для второго — 0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах равна 0.973. Какова вероятность попадания при одном выстреле?
4. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы, если вероятности отказов соответственно равны p₁=0.2, p₂=0.4, p₃=0.3.

Задачи для самостоятельной работы

1. В отделе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам отобраны три человека. Какова вероятность того, что отобранные лица окажутся мужчинами?
2. На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и верхи ботинок. Дефектными оказываются 1% каблуков, 4% подметок и 5% верхов. Каблуки, верхи и подметки случайно комбинируются в цехе, где шьют ботинки. Какой процент ботинок будет испорчен?
3. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0.8, вторым стрелком – 0.7, третьим стрелком – 0.6. Найти вероятность поражения цели: а) двумя пулями; б) не менее чем двумя пулями.
4. В урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одинакового цвета?

Глава 3. Формула полной вероятности и формула Байеса

Теорема (формула полной вероятности). Пусть события образуют полную группу попарно несовместных событий, т.е. удовлетворяют условиям:

1) > 0;

2) ;

3) .

Пусть – событие, для которого при любом известны условные вероятности . Тогда вероятность события равна

. (3.1)

Теорема (формула Байеса). Пусть события удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, известны и вероятность . Тогда имеет место равенство

, (3.2)

Замечание. События называют гипотезами. Вероятности считаются известными до того, как решается вопрос о вычислении , поэтому их называют априорными вероятностями гипотез. Вероятности вычисляются после проведения эксперимента и называются апостериорными вероятностями гипотез.