Непрерывные случайные величины
Задача 1
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Вычислить числовые характеристики.
1)  | 2)  |
3)  | 4)  |
5)  | 6)  |
7)  | 8)  |
9)  | 10)  |
11)  | 12)  |
13)  | 14)  |
15)  | 16)  |
17)  | 18)  |
19)  | 20)  |
21)  | 22)  |
23)  | 24)  |
25)  | 26)  |
27)  | 28)  |
29)  | 30)  |
Задача 2
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Найти интегральную функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения.
1)  | 2)  |
3)  | 4)  |
5)  | 6)  |
7)  | 8)  |
9)  | 10)  |
11)  | 12)  |
13)  | 14)  |
15)  | 16)  |
17)  | 18)  |
19)  | 20)  |
21)  | 22)  |
23)  | 24)  |
25)  | 26)  |
27)  | 28)  |
29)  | 30)  |
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
1) Завод изготовляет шарики для подшипников. Диаметр шарика – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 5 мм и средним квадратическим отклонением 0,05 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от среднего больше, чем на 0,1 мм. Определить какой процент шариков в среднем будет отбраковываться?
2) Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с математическим ожиданием – 20 км, средним квадратическим отклонением – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 20,1 км.
3) Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним весом – 1000 г и средним квадратическим отклонением – 150 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет не менее 800 г.
4) Размер гайки задан полем допуска 60-65 мм. В некоторой партии средний размер гаек оказался равным 62,8 мм, а среднее квадратическое отклонение – 1,1 мм. Считая, что размер гайки подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака.
5) Ведется стрельба из орудия по заданному направлению. Дальность полета снаряда распределена по нормальному закону, математическое ожидание равно 3 км, среднее квадратическое отклонение – 0,5 км. Найти вероятность того, что выпущенный снаряд из орудия попадает от 2 до 5 км.
6) Урожайность озимой пшеницы на участках распределяется по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание – 50 ц/га, среднее квадратическое отклонение – 10 ц/га. Определить процент участков с урожайностью от 45 до 60 ц/га.
7) Рост лиц призывного возраста есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 172 см, средним квадратическим отклонением 6 см. Определить процент лиц, рост которых выше 175 см.
8) Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, математическое ожидание – 2,5 см. В каких границах с вероятностью 0,98 можно гарантировать размер диаметра детали?
9) С вероятностью 0,9973 было установлено, что абсолютное отклонение живого веса случайно взятого животного от среднего веса животного по всему стаду не превосходит 30 кг. Найти среднее квадратическое отклонение живого веса скота, считая, что распределение скота по живому весу подчиняется нормальному закону.
10) Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 16 мм и дисперсией 0,16. Найти вероятность брака при условии, что для диаметра подшипника принимается допуск - ±0,7 мм.
11) Производится измерение длин втулок без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 12 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
12) Урожайность овощей по участкам является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 300 ц/га и средним квадратическим отклонением 30 ц/га. С вероятностью 0,9545 определить границы, в которых будет находиться средняя урожайность овощей на участках.
13) Продолжительность горения электроламп в партии оказалось нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 1200 ч и средним квадратическим отклонением 50 ч. Найти с вероятностью 0,95 границы продолжительности горения наугад взятой электролампы.
14) Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание – 20 км, среднее квадратическое отклонение – 0,1 км. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 19,8 км.
15) Фирма, продающая товары по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением 560. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.
16) Завод изготавливает шарики для подшипников. Диаметр шарика есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 20 см и средним квадратическим отклонением 2 см. В каких границах с вероятностью 0,9216 можно гарантировать размер диаметра?
17) Длина изготовляемой детали представляет нормально распределенную случайную величину. Математическое ожидание ее равно 8 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,1 см. Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 0,2 см.
18) Рост взрослого мужчины описывается нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет 175 см, а среднее квадратическое отклонение равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего не больше, чем на 7 см.
19) Размер диаметра детали задан полем допуска 20-25 мм. В некоторой партии деталей средний размер их диаметра оказался равным 23,2 мм, а среднее квадратическое отклонение – 1 мм. Считая, что размер диаметра детали подчиняется нормальному закону распределения, вычислить вероятность брака.
20) На автомате изготавливают заклепки, диаметр головок которых распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием 3 мм и дисперсией 0,01. Какую точность диаметра головок заклепок можно гарантировать с вероятностью 0,9216?
21) Количество зерна, собранного с каждой делянки опытного поля, есть нормально распределенная случайная величина с параметрами: математическое ожидание – 60 кг, среднее квадратическое отклонение – 1,5 кг. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9906 будет заключена случайная величина.
22) При изготовлении некоторого изделия его вес подвержен случайным колебаниям. Стандартный вес изделия равен 30 г, его среднее квадратическое отклонение равно 0,7. Случайная величина распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия находится в пределах от 28 до 31 г.
23) Диаметр шарика подшипника является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Размер диаметра задан полем допуска 40-45 мм. Средний размер диаметра равен 42,5 мм. Брак составляет 10% от всего выпуска. Найти среднее квадратичное отклонение диаметра шарика.
24) Урожайность озимой пшеницы по совокупности участков распределяется по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание – 50 ц/га, среднее квадратическое отклонение – 10 ц/га. Определить процент участков с урожайностью свыше 40 ц/га.
25) Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание – 20 км, дисперсия – 0,01. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 20,3 км, но не более 20,75 км.
26) Станок автоматически изготавливает валики, контролируя их диаметры. Считая, что случайная величина распределена нормально с параметрами: математическое ожидание – 10 мм, среднее квадратическое отклонение – 0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут диаметры изготовленных валиков.
27) Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним весом – 1000 г и средним квадратическим отклонением – 150 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет не более 1500 г.
28) Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Дисперсия ее равна 4, а математическое ожидание – 20,5 мм. Найти вероятность брака, если допустимые размеры диаметра детали должны быть 20±3 мм.
29) Детали, изготовленные автоматом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону. Известно, что математическое ожидание равно 4,5, а дисперсия – 0,09. Определить границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, если вероятность невыхода за эти границы равна 0,95.
30) Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним весом – 1000 г и средним квадратическим отклонением – 150 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет отличаться от среднего веса по модулю не более чем на 200 г.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1.Таблица значений функции 
.
| 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 | 0,3989 0,2420 0,0540 |
| 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 | 0,0044 |
Продолжение таблицы значений функции .
| 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 | 0,3984 0,2299 | ||||
| 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 |
Приложение 2.
Таблица значений функции .
 |  | | | | |
| 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 | 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 | 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 | 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 | 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 | 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 |
| | | | | | |
| 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 | 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3721 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 | 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 | 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 | 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 | 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 |
| | | | | | |
| 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 | 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 | 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 | 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 | 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 | 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997 |