Методические рекомендации по выполнению расчетов

1. Для расчета и реализации ФНЧ первого порядка используется схема (рис.1). Частотно-избирательная цепь этих фильтров состоит из резистора R1 и емкости С. От значения этих параметров зависит частота среза фильтров.

Рис.1. ФНЧ первого порядка

Для расчетов в настоящей работе частоты среза всех исследуемых фильтров выбираются в диапазоне 200 – 500 кГц. Это определяет выбор операционных усилителей. Следует выбирать быстродействующие ОУ с частотой единичного усиления не ниже 10 – 15 МГц, а коэффициент передачи фильтров в полосе пропускания К₀ не следует выбирать больше 5.

Расчет любого конкретного фильтра обычно начинают с выбора емкости частотно-избирательных цепей. Для этого используют эмпирическое соотношение которое обеспечивает приемлемые величины резисторов частотно-избирательных цепей.

, (1)

Для фильтров первого порядка частотно-избирательная цепь состоит из одной емкости и одного резистора. Используя выражение (1) и задавшись частотой среза ФНЧ f_c = 200 кГц, получаем С =50 пФ. Однако, с другой стороны, величина емкостей должна хотя бы на порядок превосходить величину паразитных монтажных и распределенных емкостей, которые могут достигать 20 пФ. С учетом этого емкости всех фильтров задаются равными 100 пф.

Следовательно, для расчета фильтров первого порядка остается только рассчитать необходимые значения резистора для заданных фильтров

, (2)

причем для ФНЧ первого порядка с=1 .

Резисторы R2 и R3, задающие коэффициент передачи фильтра К₀ на нулевой частоте, определяются таким образом, чтобы получить желаемый коэффициент передачи фильтра К₀ и при этом обеспечить равенство входных токов по инвертирующему и не инвертирующему входам. Это обеспечивает максимальное подавление синфазного сигнала, что для не инвертирующих схем весьма важно. Поскольку

, (3)

а условие равенства входных токов определяется соотношением

, (4)

то, задавшись значением К₀ = 2, из (3) получаем т.е. R2=R3, в результате чего из (4) получаем R2=R3=2R1. Учитывая, что для разных видов фильтров значения R1 получаются разными, а строгого соблюдения соотношения (4) не требуется, то для всех видов фильтров, реализуемых на данном ОУ, сопротивления резисторов R2 и R3 выбирают усредненными и их номинальные значения равны, например, 20 кОм.

Фильтр верхних частот при той же частоте среза отличается от соответствующего фильтра нижних частот только тем, что резистор и конденсатор, образующие частотно-избирательную цепь, меняются своими местами, а их значения остаются теми же.

Результаты расчетов ФНЧ и ФВЧ свести в табл.2

2. Для расчета фильтров второго порядка выберем не инвертирующий ОУ. Для примера рассчитаем и исследуем ФНЧ Баттерворта и Чебышева с неравномерностью АЧХ 0,5 дБ , 1,0 дБ и 3 дБ, с частотой среза f_c=300 кГц, а также ФВЧ Баттерворта с частотой среза f_c=500 кГц. Емкости фильтров считаем заданными и равными 100пФ. (Их величина определяется из тех же соображений, что и для фильтров первого порядка). Поэтому остается рассчитать лишь величину резисторов частотно-избирательных цепей (здесь их два – см. схему рис.2).

Рис.2. Фильтр второго порядка

Сопоставляя передаточную функцию данной схемы с обобщенной передаточной функцией ФНЧ второго порядка, получим

К₀cw₀² = (1 + R₄/R₃)/(R₁ R₂ C₁ C₂ ); (5)

bw₀ = 1/(R₁C₁ ) +1/(R₂C₁ )– R₄/(R₂R₃C₂ ); (6)

cw₀² = 1/(R₁R₂C₁C₂) , (7)

причем

К₀ = 1 + R₄/R₃ . (8)

Находя из (7)

R₄/R₃ = К₀ – 1

и подставляя это в (5), получим

bw₀ = 1/(R₁C₁ )+1/(R₂C₁ )– (К₀ –1)/(R₂ C₂ ); (9)

Следовательно, для определения двух неизвестных сопротивлений R₁ и R₂ мы имеем два уравнения (7) и (9).

Учитывая, что в нашем случае С₁ = С₂ = С_{0 ,} и разрешая полученную систему уравнений относительно R₂, получаем

R₂ = {b± [b² – 4c(2-К₀)]^0,5}/2cw₀C₀ (10)

Поскольку физический смысл имеют лишь решения, при которых R₂ вещественное и положительное, то подкоренное выражение в (10) должно быть положительным, а из двух решений, соответствующих знакам "+" и "-" в числителе (10), следует оставлять только одно, соответствующее знаку "+". Из первого ограничения следует условие

b² + 4cК₀ ³ 8c .

Откуда

K₀³ 2 – b²/4C (11)

Следовательно, если K₀³ 2, то это условие при любых значениях b и c будет выполняться, а К₀ = 2 при R₄=R₃, что выполняется в данном расчете.

Определяя по табл. 1 значения коэффициентов b и c для заданного вида фильтра и принимая К₀ = 2, получаем

R₂= b / ( c w₀ C₀ ) (12)

R₁ = 1 / (c R₂w₀² C₀²) = 1 / (b w₀ C₀ ) . (13)

Для расчета фильтра верхних частот второго порядка запишем передаточную функцию реализующей его схемы (рис.2).

K_p = [1 + R₄/R₂]p² / {p² + [1/(R₂C₁) +1/ (R₂C₂) – R₄ / (R₁R₃C₁)]p + 1/ (R₁R₂C₁C₂)} .

Сопоставляя ее с обобщенной передаточной функцией ФВЧ второго порядка , получим

K₀ = 1 + R₄ / R₃ ; (14)

(b/c) w₀ = 1/(R₂C₁) +1/ (R₂C₂) – R₄ / (R₁R₃C₁) ; (15)

w₀² / c = 1/ (R₁R₂C₁C₂) . (16)

Учитывая, что R₄/R₃ =1, а С₁ = С₂ = С₀ , найдем из (42) R₁ и подставим в (16)

R₁ = 1 / ( R₂ w₀² C₀²) ; (17) R₂ = [b + (b² +8c)^0,5] / (2w₀C₀) . (18)

Подставляя (44) в (43) окончательно получим

R₁ = 2c / {w₀C₀ [b + (b² +8c)^0,5]} . (19)

Подставляя в (18) и (19) значения коэффициентов b и c , взятые из табл. 1 для заданного вида фильтра, вычисляем R₂ и R₁ . Расчетные значения R₂ и R₁ округляем до ближайшего номинального значения.

Расчетные значения резисторов R1 и R2 для каждого из указанных фильтров свести в табл.2.

Варианты заданий для расчетов

№ варианта

fc , кГц

К0

82 82

7,5к

82

20к 82

5,6к 82

15к 10к 3,6к

13к

10к 36к

20к

5,1к 10к 82 20к

3,3к Выход 51к 10к Выход

2,7к

А Б

82 82 2,7к

150к

20к 18к 150к

15к 13к

150к

10к 9,1к 33к

5,6к 82 33к 82к

9,1к 8,2к

Выход Выход

6,8к 5,1к

5,1к 4,7к

В Г

Рис. 3. Схемы для расчета фильтров 3 и 4 порядков

3. Фильтры третьего и четвертого порядков образуются путем последовательного соединения двух звеньев, первое из которых представляет собой фильтр первого порядка (для получения фильтров третьего порядка) или второго порядка (для получения фильтров четвертого порядка), а второе звено – фильтр второго порядка. Звенья первого порядка реализуются на схеме А рис.3, а звенья второго порядка – на схеме Б рис.3. При этом предусмотрена возможность реализации трех разновидностей фильтров. Но следует учесть, что, в соответствии с табл.1, значение коэффициента с для первого звена фильтров третьего порядка совпадает со значением этого коэффициента для одиночного фильтра первого порядка только для фильтра Баттерворта, а для других фильтров не совпадают. Поэтому и значения резистора R1 для них будут другими. То же касается и второго звена: значения коэффициентов с и b здесь не совпадают с соответствующими значениями для одиночных фильтров второго порядка.

Для реализации фильтров 4-го порядка на схеме А рис.3 предусмотрена возможность получения фильтра Баттерворта второго порядка. Другие разновидности фильтров 4-го порядка на данном макете получить нельзя.

Расчет обоих звеньев ведется по выражениям (12) и (13) при подстановке соответствующих значений коэффициентов с и b и f_с = 200 кГц. Расчетные значения сопротивлений данных резисторов для звеньев А и Б для заданных видов фильтров свести в табл.2.

4. Полосовые и заграждающие фильтры с относительно широкими полосами пропускания (заграждения) получают путем последовательного и параллельного включения фильтров нижних и высоких частот с соответствующими частотами среза. В данной работе предусмотрена возможность получения полосового и заграждающего фильтров с границами частот пропускания (заграждения) f_н= 200 кГц, f_в = 400 кГц. Очевидно, что для получения полосового фильтра следует последовательно включить ФНЧ с частотой среза f_в = 400 кГц и ФВЧ с частотой среза f_н= 200 кГц. Первое звено (ФНЧ с частотой среза 400кГц) реализуется на схеме А рис.3 и рассчитывается как одиночный фильтр Баттерворта (или Чебышева с q=1дБ) второго порядка. Далее остается только округлить расчетные значения резисторов до имеющихся в лабораторном макете номинальных значений и, подсоединив их, последовательно соединить полученные звенья.

Для получения заграждающего фильтра необходимо иметь звено ФНЧ с частотой среза 200 кГц (рассчитывается как фильтр Баттерворта 2-го порядка и реализуется на схеме А) и ФВЧ с частотой среза 300кГц (рассчитывается как фильтр Баттерворта 2-го порядка и реализуется на схеме Б).

Для получения заграждающего фильтра их надо включить параллельно, а выходы подать на входы суммирующего каскада, реализованного на схеме Г лабораторного макета.

Если же достаточным (по требуемой крутизне фронтов) оказывается использование фильтра второго порядка, то появляется возможность получения полосового фильтра на одном ОУ (при независимой настройке обеих границ частотного диапазона). Эта схема представлена на рис. 4. Очевидно, что в этой схеме элементы С1R1, обеспечивающие срез нижних частот, должны определяться из условия , а элементы С2R2, обеспечивающие срез верхних частот, должны определяться из условия Здесь по-прежнему принимается С1=С2=82 пФ.

Рис.4

5. Полосовые фильтры с относительно узкой полосой пропускания могут быть реализованы на одном операционном усилителе (на схеме В рис 3.). Но при этом , хотя мы получаем фильтр второго порядка, но крутизна срезов его АЧХ соответствует крутизне срезов, соответствующих ФНЧ (или ФВЧ) 1-го порядка. Однако вблизи частот срезов крутизну срезов можно существенно увеличить путем увеличения добротности фильтра. В ФНЧ и ФВЧ использовать фильтры с высокой добротностью нельзя , т.к. при этом на АЧХ этих фильтров в полосе пропускания вблизи частот среза появляются выбросы тем больше, чем больше величина добротности. Поэтому в звеньях ФНЧ и ФВЧ добротность фильтра строго задается и определяется коэффициентами "b" и "с" : Q = (c)^0,5/b.

Будем строить полосовой фильтр на основе прототипного ФНЧ первого порядка. Для реализации передаточной функции может быть использована схема с многопетлевой обратной связью, изображенная на рис. 5. Эта схема имеет передаточную функцию

G(p) = [- (1/R₁C₂)p] / {p² + [(1/C₁) + (1/C₂)] (1/R₃)p + (1/R₁ +1/R₂) / (R₃C₁C₂)} . (20)

Рис.5

Сопоставляя ее с (24) , получим

K₀ w₀/Q = 1/(R₁C₂). (47)

w₀/Q = [(1/C₁) + (1/C₂)] (1/R₃). (48)

w₀² = (1/R₁ +1/R₂) / (R₃C₁C₂). (49)

Учитывая, что в нашем случае С₁ = С₂ = С₀ и задаваясь значениями К₀ = 2 (как и для остальных фильтров), также принимая во внимание , что Q = w₀ / Dw = f₀ / DF, получим из (48)

Dw = (1/R₃) (2/C₀) ,

откуда можно найти R₃

R₃ = 2/(Dw C₀) = 1 / (pDFС₀) . (50)

Из (47) следует , что \K₀\ Dw = 1/ (R₁ C₀). Тогда

R₁ = 1/(\К₀\Dw C₀) = 1 / (4pDFС₀)=R₃/4 (51)

И , наконец, из (49) находим R₂

R₂ = R₁ / [(w₀² C₀² R₁ R₃) – 1] . (52)

Подставляя в выражения (50) – (52) значения f₀ = 300кГц и DF= 150кГц (Q=2) и DF= 50кГц (Q =6) , можно рассчитать необходимые значения R₁ , R₂ , R₃ для реализации заданных фильтров (С₁ = С₂ = С₀= 82пф).

Таблица 1

Коэффициенты полиномов для фильтров Баттерворта и Чебышева

Порядок фильтра
Номер звена
Фильтры Баттерворта	b	-	1,414	-		0,765	1,848
c
Фильтры Чебышева	q = 0,5дб	b	-	1,426	-	0,626	0,351	0,847
c	-	1,516	0,626	1,142	1,064	0,356
q = 1дб	b	-	1,098	-	0,494	0,289	0,674
c	-	1,103	0,494	0,994	0,286	0,279
q = 3дб	b	-	0,6449	-	0,299	0,170	0,411
c	-	0,7079	0,299	0,839	0,903	0,196

Таблица 2

Расчетные и номинальные значения элементов исследуемых фильтров

Тип фильтра	Вид фильтра	Порядок	f0 или fср в кГц	Значения элементов
1-ое звено	2-ое звено
Расчетное кОм	Номиналь-ное кОм	Расчетное кОм	Номиналь-ное кОм
ФНЧ	-		вариант	R1=	R1=	-	-
ФВЧ	-		вариант	R1=	R1=	-	-
ФНЧ	Батерворта		вариант	R1= R2=	R1= R2=	-	-
Чебышева q=0,5 дб		вариант	R1= R2=	R1= R2=	-	-
Чебышева q=1 дб		вариант	R1= R2=	R1= R2=	-	-
Чебышева q=3 дб		вариант	R1= R2=	R1= R2=	-	-
ФВЧ			вариант	R1= R2=	R1= R2=	-	-
ФНЧ				R1=	R1=	R1= R2=	R1= R2=
ФНЧ				R1= R2=	R1= R2=	R1= R2=	R1= R2=
ФВЧ				R1= R2=	R1= R2=	R1= R2=	R1= R2=
ПФ (ШП)			fср1=200 fср2=400	R1= R2=	R1= R2=	R1= R2=	R1= R2=
РФ (ШП)			fср1=200 fср2=400	R1= R2=	R1= R2=	R1= R2=	R1= R2=
ПФ (УП)	Q= DF=		f0=300	R1= R2= R3=	R1= R2= R3=