Операции над множествами. Теория множеств
Теория множеств.
Множества. Пустое множество. Универсальное множество. Подмножества. Собственное подмножество. Способы задания множеств. Мощность множества. Равномощные множества. Конечные и счётные множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность). Законы алгебры множеств. Характеристические функции. Декартово произведение множеств. Отношения и свойства отношений. Функции на множествах.
Определение множества.
Множество - это совокупность определённых различаемых объектов, причём таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.
Элементы множества обычно обозначаются маленькими буквами, сами множества – большими. Например…
Знак принадлежности и непринадлежности . Конечное, бесконечное, пустое множество .
Множество А называют подмножеством множества B ( ) если все его элементы принадлежат множеству B. Множества равны A=B, если они содержат одни и те же элементы ( ) Надмножества.
Собственное подмножество.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Любое множество является подмножеством самого себя:
Мощность множества |A| - количество элементов множества.
Семейство множества А (булеан) (А) – множество всех подмножеств.
Универсальное множество E - множество всех элементов для данной задачи
Характеристическая функция или индикатор - или = 1 если принадлежит A и 0 если не принадлежит. Функция показывает принадлежность элементов множеству.
Особые множества: N (Натуральные числа), Z(целые числа), R(вещественные числа), Q(рациональные числа), I(Комплексные числа).
Способы задания множеств
Списком: Иногда, список может содержать многоточие: , однако такая запись не является строгой и может быть использована только там, где смысл её ясен. Более строго следовало бы записать ,
Порождающей процедурой:
Например, множество степеней 2:
Описанием свойств элементов. Описание должно быть точным и недвусмысленным.
Например: А – множество чётных чисел. B – множество белых ворон.
Множество симпатичных девушек – не катит, т.к. воспринимается каждым по разному.
Графическое. (Диаграммы Эйлера – Венна). Круг Эйлера - ограничивает множество. Рамка - универсальное множество.
Операции над множествами
Основные операции: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение.
Объединение множеств – это множество, состоящее из элементов входящих в любое из множеств A или B: – содержит множества входящие
Операция объединения может быть использована для объединения нескольких множеств:
Пересечение множеств – множество, содержащее элементы, входящие в оба множества:
Пересечение множеств – это подмножество элементов множества A, не входящих в B:
Симметрическая разность – состоит из элементов входящих либо в A либо в B, но не в оба множества сразу.
Дополнение до универсального множества - подмножество универсального множества, элементы которого не содержатся в A.
Операциям над множествами соответствуют операции над их характеристическими функциями:
Равномощные множества – это множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.
Счётное множество – множество, равномощное множеству натуральных чисел.
Множество натуральных чисел – счётно. Множество рациональных чисел счётно. Множество вещественных чисел – несчётно.
Законы алгебры множеств:
Коммутативность:
,
Ассоциативность:
Дистрибутивность:
Идемпотентность:
Действия с универсальным и пустым множествами:
,
,
,
Де Моргана:
Доказательства….
Графическое..