Включение множеств. Операции над множествами
Определение. Говорят, что множество А включено в множество В(и пишут АÍВили ВÊА), если для любого элемента аÎА справедливо аÎВ.
Например, очевидны следующие включения NÍZÍQÍR.
Свойства:
1) для любого множества А справедливо включение АÍА;
2) если АÍВ и ВÍА, то А = В;
3) если АÍВ и ВÍС, то АÍС;
4) для любого множества А справедливо включение ÆÍА.
Доказательство. Приведем доказательство лишь одного - четвертого свойства. Предположим противное, что Æ не включено в множество А. Это означает, что должно существовать хÎÆ такое, что хÏА. Но для любого х справедливо хÏÆ. Следовательно такого х не существует и ÆÍА.
Замечание. Необходимо различать символ принадлежности Î и символ включения Í. Символ принадлежности не обязан удовлетворять тем же свойствам что и символ включения. Так, например, 1ÎZ, ZÎ{Z}, однако 1Ï{Z}.
Операция “объединение множеств”.Пусть А и В два множества. Объединением этих множеств называется множество АÈВ, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:
АÈВ= {x: хÎА либо хÎВ}.
Операция “разность множеств”.Для множеств А и В разность множеств А-В состоит из тех и только тех элементов х, которые удовлетворяют следующим двум условиям хÎА и хÏВ:
А - В= {х: хÎА и хÏВ}.
Операция “пересечение множеств”.Для множеств А и В их пересечением АÇВ называется множество таких элементов х, которые принадлежат как А, так и В:
АÇВ= {х: хÎА и хÎВ}.
Операция “симметрическая разность множеств”.Для множеств А и В их симметрической разностью называется множество
АDВ= (А – В)È(В – А).
Наиболее часто нами будут использоваться операции объединения и пересечения. Они могут быть распространены на любое число множеств (так же как и другие операции):
È aÎI Аa= {х: $a ÎI: хÎАa },
Ç aÎI Аa= {х: "a ÎI: хÎАa }.
В случае, когда множество индексов I = N, применяется запись вида Èn . Например,
если Аn = (–1/n, 1/n ), то Ç nАn = {0}.
Если ВÍА, то разность множеств А – В называют еще дополнительным множествомк В или просто дополнением в А и обозначают ВC.
Операции над множествами хорошо иллюстрируются диаграммами Венна
Теорема 1. Для любых множеств A, B, C, D справедливы равенства
| 1. AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC | 1'. AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC |
| 2. AÈB = BÈA | 2'. AÇB = BÇA |
| 3. AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC) | 3'. AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC) |
| 4. АÈА = А | 4'. АÇА = А |
| 5. AÈÆ = A, AÈD = D (при условии A Í D) | 5'. AÇÆ = Æ, AÇD = A (при условии AÍD) |
| 6. AÈ(D – A) = D | 6'. AÇ(D – A) = Æ |
(Некоторые из приведенных выше свойств имеют специальные названия: 1 и 1' - свойства ассоциативности, 2 и 2' - коммутативности, 3 и 3' - дистрибутивности, 4 и 4' - идемпотентности).
Доказательство. Приведем доказательство свойств 3 и 5' (остальные доказываются просто или аналогично). Начнем со свойства 3. В силу одного из свойств операции включения (свойство 2), достаточно показать, что множество справа включено в множество, стоящее слева, и наоборот. Пусть хÎAÈ(BÇC). Тогда либо хÎA, либо хÎBÇC. Если хÎA, то хÎAÈB и хÎAÈC, т.е. хÎ(AÈB)Ç(AÈC). Если же хÎBÇC, то хÎB и хÎC. Следовательно хÎAÈB и хÎAÈC, т.е. снова хÎ(AÈB)Ç(AÈC). Этим показано включение AÈ(BÇC)Í(AÈB)Ç(AÈC). Наоборот, если хÎ(AÈB)Ç(AÈC), то хÎAÈB и хÎAÈC. Если хÎA, то хÎAÈ(BÇC). Если же хÏA, то обязательно хÎB и хÎC. Следовательно хÎBÇC и хÎAÈ(BÇC), что и доказывает утверждение.
Докажем свойство 5'. Из свойства 4 операции включения имеем ÆÍAÇÆ. Покажем обратное включение. Предположим противное, что AÇÆ не включено в Æ. Тогда существует хÎAÇÆ, т.е. хÎA и хÎÆ, такое, что хÏÆ. Но здесь написаны две противоречивые принадлежности. Это доказывает, что наше исходное предположение не верно и AÇÆÍÆ. Аналогично показывается и вторая часть рассматриваемого свойства.
В случае, когда все рассматриваемые множества заведомо принадлежат одному и тому же множеству U, это множество называют универсумом.
Операции над множествами, хотя и являются похожими на операции сложения (объединение), вычитания (разность множеств), и умножения (пересечение) над обычными числами, отличны от них по своим свойствам. Так, например, (А-В)ÈВ = А верно не всегда (приведите пример).
Другим существенным отличием являются так называемые законы поглощения: для множеств из универсума U справедливы равенства:
1. АÈ(АÇВ) = А;
2. АÇ(АÈВ) = А;
3. АÈ(АСÇВ) = АÈВ.
Доказательства этих равенств несложные и опираются на теорему 1. Так первое из них получается из следующих равенств:
АÈ(АÇВ) = (АÇU)È(AÇB) = AÇ(UÈB) = AÇU = A.
Для множеств из универсума U справедливы следующие два закона де Моргана.
Теорема 2. Справедливы равенства:
(АÈВ)С = АС Ç ВС и (АÇВ)С = АС È ВС.
Доказательство. Докажем первое из этих равенств. Пусть аÎ(АÈВ)С. Тогда аÏАÈВ, т.е. аÏА и аÏВ. Последнее означает, что аÎАС и аÎВС, а значит и аÎАС Ç ВС. Цепочку этих рассуждений легко теперь провести в обратном порядке.
Второе равенство доказывается по аналогии.
На законах де Моргана основан принцип двойственности, играющий важную роль в теории множеств и ее приложениях. Принцип двойственности состоит в следующем: если в некотором равенстве, связывающем подмножества данного универсума, заменить операцию Ç на È, а Ç на È, множество U на Æ, множество Æ на U, то получим верное равенство. Новое равенство называется двойственным по отношению к заданному.
Примеры. 1) АÈÆ=А Þ (АÈÆ)С = АС Þ АСÇÆС = АС Þ АС ÇU = АС. Последнее равенство в силу произвольности А (а следовательно и АС ) можно переписать ВÇU = В для любого множества В из U.
2) (задача Льюиса Керролла) В одном жестоком бою из 100 пиратов 70 потеряли ногу, 75 – руку, 80 – глаз, 85 – ухо. Доказать, что как минимум 10 человек потеряли и руку, и ногу, и глаз, и ухо.
Решение. Обозначим через А – множество пиратов, потерявших ногу, В – потерявших руку, С – глаз, Е – ухо. Тогда нам необходимо найти М=АÇВÇСÇЕ (точнее, показать, что там не менее 10 элементов). Рассмотрим МС = АС ÈВС ÈСС ÈЕС . По условиям задачи в множестве АС – 30 элементов, в множестве ВС – 25 элементов, СС – 20, ЕС – 15 элементов. Таким образом, в множестве МС не более, чем 30 + 25 + 20 + 15 = 90 элементов. Следовательно, в самом множестве М не менее, чем 10 элементов.
Задачи.
1. Доказать следующие утверждения:
а) из АÍВ вытекает, что АÇВ = А и АÈВ = В;
б) из АÇВ = А вытекает, что АÍВ;
в) из АÈВ = В вытекает, что АÍВ.
2. Доказать:
а) АÈ(ВÇС) = (АÈВ)Ç(АÈС);
б) АÇ(ВÈС) = (АÇВ)È(АÇС).
3. Доказать включения:
а) (АÇС)È(ВÇD)Í(АÈВ)Ç(СÈD);
б) (В – С) – (В – А)ÍА – С;
в) А – СÍ(А – В)È(В – С).
4. Доказать: АDВ = (АÈВ) – (АÇВ).
5. Верны ли утверждения для любых множеств А, В, С: 1) если АÍВ и ВÎС, то АÎС; 2) если А ¹ В и В ¹ С, то А ¹ С?
6. При каких условиях на А и В выполняется равенство (А – В)ÈВ = А.
7. Пусть U={a, b, c, d, e, f} – универсум, A = {a, b, c}, B = {a, c, e, f}, C = {d, e, f}. Найти А – В, В – С, С – В, А – С, АCÈВ, ВÇАC, АÇС, СDА.
8. Пусть АÇВ = Æ. Что можно сказать про множества А – В и В – А.
9. Пусть АÇВС = Æ. Что можно сказать про множества АÇВ и АÈВ.
10. Доказать равенства:
а) (А – В) – С = (А – С) – (В – С);
б) (А – В)È(В – С)È(С – А)È(АÇВÇС) = АÈВÈС;
в) А – В = А – (АÇВ) = (АÈВ) – В;
г) А – (А – В) = АÇВ;
д) А – (ВÈС) = (А – В)Ç(А – С);
е) А – (ВÇС) = (А – В)È(А – С);
ж) (АÈВ) – С = (А – С)È(В – С).
11. Вытекает ли из А – В = С, что А = ВÈС?
12. Вытекает ли из А = ВÈС, что А – В = С?
13. Пусть А – заданное множество, про другое множество Х известно, что АDХ = А. Доказать, что Х = Æ.
14. Доказать равенства:
а) АD(ВDD) = (АDВ)DD;
б) АÇ(ВDD) = (АÇВ)D(АÇD);
в) АDА = Æ;
г) АDÆ = А.
15.Доказать следующие тождества:
а) (АÇВ)È(СÇD) = (АÈС)Ç(ВÈС)Ç(АÈD)Ç(ВÈD);
б) (АÈВ)ÇА = (АÇВ)ÈА = А;
в) А – (В – С) = (А – В)È(АÇС);
г) АÇ(В – С) = (АÇВ) – (АÇС) = (АÇВ) – С;
д) АÈВ = АÈ(В – А);
е) (АС)С = А;
ж) АÈАС = U;
з) АÇАС = Æ;
и) [АСÈВ]ÇА = АÇВ;
к) АÇ(В-А) = Æ;
л) А – (ВÈС) = (А – В) – С.
16.Доказать, что
а) (АÈВ)ÇС = АÈ(ВÇС) Û АÍС;
б) А = В Û АDВ = Æ;
в) АÇВ = АÈ В Û А = В;
г) (АÈВ) – В = А Û АÇВ = Æ;
д) (А – В)ÈВ = А Û ВÍА;
е) (АÇВ)ÈС = АÇ(ВÈС) Û СÍА;
ж) АÍВ Þ АÈСÍВÈС;
з) АÍВ Þ АÇСÍВÇС;
и) АÍВ Þ (С-В) Í(С-А);
к) АÍВ Þ ВСÍАС;
л) А = ВС Û АÇВ=Æ и АÈВ = U.
17.Доказать тождества:
а) АÈВ = АÈВÈ(АÇВ);
б) А – В = А – (АÇВ);
в) АÈÆ = А;
г) А – А = Æ;
д) ADU = AC;
е) АDВ = (АÈВ) – (АÇВ);
18. Пусть A Í U, B Í U. Доказать:
а) A – B = A Ç BC;
б) ADB = (A Ç BC) È (AC Ç B).
19. Решить систему уравнений
а) 
где А, В, С – данные множества и В Í А Í С.
б) 
где А, В, С – данные множества и В Í А , АÇС = Æ.
в) 
где А, В, С – данные множества и В Í А Í С.
20. Определить операции È, Ç, \ через:
а) Ç и D;
б) D и È;
а) \ и D.
21. Доказать, что для любых множеств E, F, G, H справедливы
включения:
а) ED(FÈG) Ì (EDF)È(EDG);
б) ED (F – G) Ê (FDE) – (GDE);
в) (EDF)Ç(GDH) Ì (EÇG)D(FÇH);
г) (EDF)-(GDH) Ì [ED(F-H)]È[(E-G)D(FÇH)];
д) ED(FÇG) É (EDF)Ç(EDG);
е) (FÇE)D(GÇH) Í (GDE)È(FDH).
22. Справедливо ли равенство
(АDВ)Ç(СDD) = (АÇС)D(ВÇD)?
23. Справедливо ли равенство
(АDВ)È(СDD) = (АÈС)D(ВÈD)?