Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної.

Нехай функція задана параметрично

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

При чому Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru диференційовані при певних t, а Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru має обернену функцію. Тоді похідна від функції y по змінній x находиться за формулою

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної.

Неявна форма запису закону функціональної залежності однієї змінної має вигляд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Щоб знайти похідну неявної функції, можна взяти похідну від обох частин рівності Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , вважаючи у функцією від х, і здобуте рівняння розв'язати відносно у'.

2. Дослідження функцій із застосуванням похідної. Побудова графіків функцій Асимптотою кривої називають пряму, до якої необмежено наближається точка кривої при необмеженому віддаленні ії від початку координат. Розрізняють вертикальні, похилі та горизонтальні асимптоти.

Вертикальною асимптотою графіка функції у=f(x) називають пряму х=х0, коли Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru або Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Похилою асимптотою графіка функції у=f(x) при Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru називають пряму у=kx+b, якщо існують границі Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Горизонтальною асимптотою графіка функції у=f(x) при Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru називають пряму у=b, коли Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Побудова графіків функцій

Побудову графіка функції у=f(x) пропонується проводити за такою схемою:

1. Визначають область визначення функції, області неперервності, точки розриву, точки перетину графіка функції з осями координат.

2. Якщо функція парна (f(-x)=f(x)) для будь-якого х або непарна (f(-x)=-f(x)), тоді базисний графік будують на [0, Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ]. Для побудови повного графіка достатньо базисний графік симетрично відобразити відносно осі Оу у випадку парної функції або початку координат – у випадку непарної функції.

3. Знаходять асимптоти графіка функції.

4. Знаходять проміжки спадання та зростання функції, точки екстремуму.

5. Після виконання викладеного будують графік функції в цілому.

Дослідимо функцію Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , притримуючись даної схеми.

1.Областю визначення функції є Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , х=4– точка розриву. Точки перетину з віссю ОX: y=0, х=-3; з віссю OY: х=0, y=-2,25.

2. Функція не є ані парною, ані непарною. Графік симетрії немає.

3. Легко знаходимо, що х=4 – вертикальна асимптота, причому:

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Знаходимо похилі асимптоти:

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Таким чином, існує похила асимптота у=х+10.

4. Досліджуємо функцію на монотонність та локальний екстремум:

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

З Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru =0 слідує х2-8х-33=0, звідки х1=11, х2=-3. В інтервалі Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , отже, функція зростає в цьому інтервалі; в інтервалі (-3;4) Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , отже функція спадає. Тому функція в точці х=-3 має локальний максимум: max(-3;0). В інтервалі (4;11) Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , отже функція спадає в цьому інтервалі; в інтервалі (11; Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ) Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , отже функціязростає. В точці х=11 маємо локальний мінімум: min (11;28).

5. Графік функції зображено на рисунку 15.1.

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Рисунок 15.1

3. Використання похідної при розв’язанні оптимізаційних задач

1. Серед прямокутників з даним периметром 2p знайти той, площа якого найбільша.

Розв’язання. Нехай x – одна із сторін прямокутника, тоді друга p – x. Площа прямокутника S(x)=x(p–x). Функція S(x) має найбільше значення на [0, p], оскільки є неперервною. Знаходимо S′(x)=p–2x. Перша похідна перетворюється на нуль при Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Оскільки S″(x)=–2, тобто від’ємна при всіх значеннях x, то при Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru функція має найбільше значення. Шуканий прямокутник – квадрат.

2. Треба виготовити відкритий циліндричний резервуар об’ємом V. Вартість матеріалу, який іде на виготовлення дна, у m разів більша за вартість матеріалу для бічної частини. При яких розмірах резервуара вартість матеріалу буде найменшою?

Розв’язання. Нехай вартість матеріалу для бічної частини – одиниця, тоді вартість затрачених матеріалів на весь циліндр Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , де R і h – відповідно радіус і висота резервуара. Застосовуючи формулу об’єму резервуара Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , знаходимо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Цей вираз висоти підставимо у формулу для визначення вартості матеріалів Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Знайдемо похідну по R і прирівняємо її до нуля:

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , тому Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Легко помітити, що друга похідна Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , S має найменше значення для визначеного R. Далі знайдемо

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Таким чином, вартість матеріалу для резервуару буде мінімальною, якщо висота циліндра у m разів перевищуватиме радіус його основи.

Лекція 16 Інтеграл. Інтегрування частинами

1. Невизначений інтеграл

Функція F(х) називається первісною для функції f(х) на відрізку [а,b], якщо F(х) диференційована на цьому відрізку і стверджується рівність F'(х) = f(х) для усіх Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Існує множина первісних F(х) для однієї і той самої функції f(x) на даному відрізку. Усі вони можуть відрізнятись тільки сталою. Цю множину первісних називають невизначеним інтегралом від функції f(x) і записується Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

2. Інтегрування частинами

Застосування формули Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru і знаходження первісної

називається інтегруванням за частинами. До інтегрування за частинами відносяться випадки, коли підінтегральний вираз має вигляд:

1. Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

через и позначаємо Рп(х), через dv позначаємо соs ах dх, Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

2. Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

через и позначаємо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , через dv позначаємо Рп(х)dх.

При інтегруванні частинами, треба підінтегральний вираз розбити на два множника: и і dv. При цьому dv повинен бути таким, щоб інтегруванням легко було знайти v ( сталу інтегрування беремо за 0).

3. Формула Ньютона - Лейбніца

Визначений інтеграл можна обчислити за формулою Ньютона – Лейбніца

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Формула показує, що значення інтеграла на відрізку [а,b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при верхній і нижній межах інтегрування.

Якщо функції и(х) і v(х) та їх похідні и'(х) і v'(х) неперервні на проміжку [а,b], то формула інтегрування за частинами для визначенного інтеграла має вигляд:

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

4. Знаходження інтегралів виду Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ; Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Нагадаємо спочатку деякі формули, відомі з курсу математики

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ; (16.1)

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ; (16.2)

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ; (16.3)

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ; (16.4)

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ; (16.5)

Приклади. Обчислити інтеграли.

1. Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Розв’язання. Використовуємо формулу (16.2):

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Відповідь: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

2. Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Лекція 17 Задачі, які приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні диференціальні рівняння першого порядку

1 Задачі, які приводять до диференціальних рівнянь

Приклад 1. З деякої висоти кинули тіло, маса якого Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Треба встановити, за яким законом буде змінюватися швидкість Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru падіння цього тіла, якщо на нього крім сили тяжіння, діє сила опору повітря, пропорційна швидкості (з коефіцієнтом пропорціональності Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ). Тобто треба знайти Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Розв’язування: за другим законом Ньютона

 
  Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Рисунок 17.1

де Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru є прискорення тіла, Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru сила, яка діє на тіло в напрямку руху. Ця сила Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru складається з двох сил: сили Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru і сили опору повітря Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru (рис.17.1).

Ми отримали рівняння, яке зв’язує невідому функцію Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru та її похідну Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , тобто диференціальне рівняння відносно невідомої функції Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru (це рівняння руху деяких парашутів). Розв’язати диференціальне рівняння – це значить знайти таку функцію Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , яка разом зі своєю похідною задовольняє даному диференціальному рівнянню.

Приклад 2. Знайти таку криву, щоб тангенс кута нахилу дотичної в кожній точці чисельно дорівнював ординаті точки дотику (рис.17.2).

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Рисунок 17.2

Приклад 3. Велике число популяції приведе до зменшення ресурсів, що знижує швидкість народження і підвищує швидкість вимирання. Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - фундаментальне рівняння в демографічній математичній теорії поширення чутків, хвороб та інших проблемах фізіології та соціології.

Нехай функція Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru відображує кількісну сторону деякого явища. Дуже часто, коли розглядається це явище, ми не можемо встановити характер залежності Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru від Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , але можемо встановити залежність між величинами Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru та похідними Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru тобто написати диференціальне рівняння. З отриманої залежності між змінними Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru та похідними треба встановити безпосередню залежність Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru від Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru (знайти Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ), проінтегрувати диференціальне рівняння.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , шукану функцію Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru та її похідні Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru або диференціали. Символічно диференціальне рівняння записується

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить в диференціальне рівняння.

Наприклад рівняння Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - першого порядку

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - другого порядку

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - третього порядку

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням рівняння.

Розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння називається будь-яка функція Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , визначена на деякому інтервалі (а ; b), яка разом зі своїми похідними перетворює це рівняння у вірну тотожність. (При цьому похідні функції Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru існують).

Приклад: Довести, що функція Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , яка визначена на усій числовій прямій, є розв’язком диференціального рівняння Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

2 Диференціальні рівняння першого порядку: основні поняття, задача Коші

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

яке зв’язує незалежну змінну Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , шукану функцію Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru та її похідну Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Якщо це рівняння можна розв’язати відносно Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , то воно має нормальний вид:

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Умова Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru називається початковою умовою ( Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ).

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , яка залежить від Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru та однієї довільної сталої Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru і задовольняє умовам:

1. Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru задовольняє диференціальному рівнянню при довільному (конкретному) значенні Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

2. Яка б не була початкова умова Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , завжди можна знайти таке значення довільної сталої Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , що функція Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru буде задовольняти початковій умові.

Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, який отримується з загального розв’язку при конкретному значенні довільної сталої Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

З геометричної точки зору загальний розв’язок Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru диференціального рівняння визначає на площині Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru сім’ю інтегральних кривих.

Задача знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння за його загальним розв’язком при заданій початковій умові називається задачею Коші.

З геометричної точки зору розв’язати задачу Коші – це значить серед сім’ї інтегральних кривих вибрати ту одну, яка буде проходити через точку Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

3. Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними

Рівняння виду Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Замінити Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru на Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru : Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Відокремити змінні Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Проінтегрувати обидві частини рівняння Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , G(y)=F(x)+C- загальний розв'язок .

4. Лінійне диференціальне рівняння І порядку

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru (17.1)

де Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru і Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - задані функції.

В окремому випадку Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru і Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru можуть бути сталими величинами.

Це рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Тоді Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Підставимо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru і Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru в (17.1). Маємо:

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru (17.2) Оскільки у виразі для Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru один множник можна вибрати довільно, а другий підібрати, то нехай Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Звідки знаходимо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . З рівняння (17.2), підставляючи знайдений вираз Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , знаходимо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Загальний розв’язок записуємо у вигляді:

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Приклад Розв’язати рівняння Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Лекція 18 Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Застосування диференціальних рівнянь до розв’язування

прикладних задач

Диференціальні рівняння другого порядку Рівняння виду Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru називається найпростішим диференціальним рівнянням другого порядку. Для розв’язання треба двічі проінтегрувати праву частину рівняння: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ; Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - загальний розв'язок диференціального рівняння.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтамиЛінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Складаємо характеристичне рівняння, для цього заміняємо

у" = к2; у' = к; у=1 ,

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Корені його характеристичного рівняння можуть бути:

1) дійсними і різними: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

2) дійсними і рівними: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

3) комплексно-спряженими: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Їм відповідають наступні загальні розв'язки рівняння

1) Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

2) Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

3) Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Застосування диференціальних рівнянь до розв’язування прикладних задач

Задача 1. Моторний човен рухається у спокійній воді зі швидкістю 1,5 м/с. Через 4с після вимкнення двигуна його швидкість зменшилась до 1 м/с. Враховуючи опір води пропорційний швидкості руху човна, знайти його швидкість через 50с після вимкнення двигуна.

Розв’язування:

Нехай Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru – швидкість човна після вимкнення двигуна в момент часу Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Тоді залежність між Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru і Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru має вигляд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , де Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - маса човна.

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Задача 2

За 10 хвилин тіло охолоджується від 100о до 60о. Температура навколишнього повітря дорівнює 20о. Враховуючи, що швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур тіла і навколишнього повітря, визначити, за який час тіло охолоджується до 30о.

Розв’язування:

Нехай Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - температура тіла у момент часу Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Тоді диференціальний закон охолодження тіла має вигляд: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Задача 3

Знайти рівняння кривої, що проходить через точку (а ; а), якщо довжина відрізку осі абсцис, що відтинається її дотичною, дорівнює довжині цієї дотичної.

 
  Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

у Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

у Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru х x

Рисунок 18.1

Розв’язування:

За геометричним змістом похідної Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , де Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . З іншого боку, Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru (рис.18.1)

Отже, Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Із Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

За умовою задачі Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Із Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Лекція 19 Числові ряди. Знакопостійні ряди. Необхідна та достатні ознаки

збіжності ряду

1 Поняття числового ряду. Основні означення

Нехай задана числова послідовність Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Вираз Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ,називається числовим рядом, а числа Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - членами ряду; Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - загальний член ряду.

Сума Sn перших n членів ряду називається n-ю частковою сумою ряду: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Числовий ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум збігається, тобто Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , де число S називається сумою ряду. Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Якщо послідовність Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru не має скінченої границі, то ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru називається розбіжним. Розбіжний ряд не має суми.

Приклад. Показати, що ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru збігається, і знайти його суму.

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru У цьому випадку Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Тоді Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Даний ряд збігається і його сума S=1.

Розглянемо ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . При Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ряд збіжний і сума Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . При Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ряд розбіжний .

Розглянемо ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . При Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ряд збіжний. При Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ряд розбіжний.

Основні властивості рядів

1 Якщо ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru збігається, то ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru теж збігається і його сума дорівнює Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

2 Якщо збігаються ряди Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru і Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , то ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru теж збігається.

2 Необхідна ознака збіжності ряду

Якщо ряд збігається, то послідовність його членів прямує до нуля, тобто Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Ця ознака є необхідною, але не є достатньою. Розглянемо гармонійний ряд, тобто ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Хоча Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru але ряд розбіжний. Якщо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru не існує або існує, але Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru то ряд розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru тобто ряд розбіжний.

3 Достатні ознаки збіжності знакододатніх рядів Будемо розглядати тільки знакододатні ряди, тобто ряди, в яких Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Його часткові суми утворюють зростаючу послідовність. З теорії границь відомо, що монотонно зростаюча й обмежена зверху послідовність має границю.

Ознаки порівняння

1. Нехай маємо ряди

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru (19.1)

Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru причому Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru (19.2)

Тоді із збіжності більшого ряду (19.2) випливає збіжність меншого ряду (19.1), а з розбіжності меншого ряду (19.1) випливає розбіжність більшого ряду (19.2).

2. Якщо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru то обидва ряди збіжні або розбіжні одночасно.

Приклад 1 Дослідити на збіжність ряд: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Порівняємо з рядом Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , який є збіжним Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Згідно першої ознаки порівняння ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - збіжний.

Приклад 2 Дослідити на збіжність ряд: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru .

Порівняємо з рядом Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru -розбіжний. Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Згідно порівняння ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - розбіжний.

Ознака Даламбера

Розглянемо ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru з додатними членами. Нехай існує границя Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , тоді при Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ряд збігається, а при Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - розбігається. У випадку, коли Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ознака не діє і нічого певного про збіжність ряду сказати не можна.

Приклад 1: Дослідити на збіжність ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Маємо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Тоді за ознакою Даламбера: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru даний ряд збіжний.

Приклад 2: Дослідити на збіжність ряд: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Маємо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Тоді Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ряд розбіжний.

Ознака Коші

Нехай для будь-якого Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru існує границя Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru , то при Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - ряд Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru збігається, а при Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru - розбігається. При Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru радикальна ознака Коші не застосовується.

Приклад 1 Дослідити на збіжність ряд: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru Для цього ряду Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ряд збігається.

Приклад 2 Дослідити на збіжність ряд: Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru . Маємо Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru для цього ряду Диференціювання неявно заданої функції однієї змінної. - student2.ru ряд розбігається.

Список літератури

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов.- 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1990. – 495 с.

2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие.- 2-е изд. перераб.и доп.– М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 576 с.

3. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник Ч.2. Под ред. Г.Н. Яковлева - 3-е изд. перераб.– М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. – 272 с.

4. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В. М. Вища математика: Підручник. У 2 ч. Ч.1.-3-є вид., випр. – К .: Техніка, 2003. – 600с.

5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 440с.

Наши рекомендации