Оцінка генерального середнього

Нехай із генеральної сукупності об’єму N відібрана випадкова вибірка де - випадкова величина, що виражає значення ознаки y k-го елемента вибірки Знайдемо «найкращу»

оцінку для генерального середнього.

Розглянемо в якості такої можливої оцінки вибіркове середнє (згадаємо, що в прикладі 2.4саме виявилось оцінкою методом найменших квадратів для ), тобто

а) Вибірка повторна

Закон розподілу для кожної випадкової величини має вигляд

			...		...
			...		...

Дійсно, ймовірність того, що 1-й відібраний у вибірку елемент має значення ознаки , згідно із класичним означенням ймовірності дорівнює оскільки елементів мають значення ознаки . Оскільки вибірка повторна, і кожен відібраний і досліджений елемент повертається у вихідну сукупність, відновлюючи кожен раз її початковий склад і об’єм, то ймовірність для будь-якого елемента вибірки. Аналогічно, для і запевняємось у тому, що закон розподілу кожної випадкової величини один і той самий. Випадкові величини незалежні, оскільки незалеж- ними є будь-які події та їх комбінації.

Знайдемо числові характеристики випадкової величини :

(2.9)

(2.10)

тобто математичне сподівання і дисперсія кожної випадкової величини

- це відповідно генеральне середнє і генеральна дисперсія.

Теорема 2.3Вибіркове середнє повторної вибірки є незміщеною і спроможною оцінкою генерального середнього , причому

(2.11)

Доведення. Доведемо спочатку незміщеність оцінки. Знайдемо математичне сподівання вибіркового середнього , враховуючи (2.9):

тобто - незміщена оцінка для . Знайдемо дисперсію вибіркового середнього , враховуючи (2.10) і те, що - незалежні

випадкові величини:

Залишилось довести спроможність оцінки , яка випливає безпосередньо із теореми Чебишова: або

Б) Вибірка безповторна

У цьому випадку випадкові величини будуть залежними. Розглянемо, наприклад, події і Тепер ймовірність оскільки відібраний елемент (у випадку безповторної вибірки) у вихідну сукупність не повертається, то в ній залишається всього N – 1елементів, з яких зі значенням ознаки : . Ця імовірність не дорівнює тобто події і залежні. Аналогічно будуть залежними будь-які події а значить, залежні випадкові величини

Однак, і для безповторної вибірки вибіркове середнє є «доброю» оцінкою. Про це свідчить теорема.

Теорема 2.4Вибіркове середнє безповторної вибірки є незміщена і спроможна оцінка генерального середнього , причому

(2.12)

Теорему приймаємо без доведення.