Многомерные отношения преобладаний
Как это уже неоднократно имело место в наших рассуждениях, все приведенные соотношения в реальности теряют смысл из-за того, что мы имеем дело лишь со статистическими закономерностями. Что значат выражения типа: "при фиксации значения третьей переменной связь между первыми двумя исчезла"? Ведь и при наличии связи отклонение от пропорциональности столбцов носит лишь относительный характер, и при отсутствии связи у нас все же, как правило, пропорциональность не "чистая". Чтобы справиться с неопределенностью, можно использовать отношения преобладаний, введенные нами в п. 2.3.4. Однако требуется их обобщить на многомерный случай. Сделаем это.
Вообще говоря, отношения преобладаний могут быть определены для таблиц любой размерности, в том числе и для одномерных, т.е. для линейных частотных распределений (правда, мы предполагаем, что имеем дело с дихотомическими признаками). Чтобы ввести строгое определение отношения преобладаний, введем новые обозначения.
Сначала предположим, что в нашем распоряжении имеется лишь один признак. Тогда будем обозначать через Р1 долю объектов, обладающих первым его значением, а через Р2 – вторым. Соответствующее отношение преобладания первого порядка, выражаемое формулой
,
естественно, будет обозначать, во сколько раз объем первого множества больше (меньше) второго. Если отношение преобладания больше 1, говорим о положительном преобладании, если меньше – об отрицательном.
Теперь будем считать, что у нас два дихотомических признака. Через Р11 обозначим долю объектов с первым значением первого признака и первым значением второго, через Р12 – с первым значением первого и вторым значением второго и т.д. Двумерная частотная таблица приобретет вид:
| Р11 | Р12 |
| Р21 | Р22 |
Легко видеть, что отношение преобладания второго порядка (определенное нами в п.2.3.4 и названное там просто отношением преобладания) конструируется следующим образом.
Фиксируем первое значение второго признака и рассчитываем для соответствующей частотной таблицы отношение преобладания первого порядка:
То же делаем при фиксации второго значения второго признака:
Отношением преобладания второго порядка называется отношение первой дроби ко второй.
.
Надеемся, смысл его очевиден: мы проверяем, в какой мере столбцы таблицы сопряженности являются пропорциональными. Если l2 равно единице, то двумерной связи нет. Если больше единицы, то говорят о положительной связи (и чем больше отличие от 1, тем больше эта связь). Если l2 меньше 1, то говорят об отрицательной связи.
Итак, l2 – это отношение двух l1 для первого признака – вычисленных отдельно для каждого из двух значений второго признака. Та же логика продолжается дальше. Вводим третий признак с двумя значениями. Фиксируем его первое значение и вычисляем l2 по первым двум признакам (формула та же, что выше выражала l2, но ко всем обозначениям частот добавляется третий индекс, равный 1; это означает, что все величины отвечают первому значению третьего признака):
Аналогичную величину вычисляем, фиксируя второе значение третьего признака:
Находим отношение последних двух величин. Это и будет отношение преобладания третьего порядка:
Если отношения преобладания второго порядка, вычисленные для каждого из двух значений третьего признака, были примерно одинаковыми, то l3 будет примерно равно 1. Это означает отсутствие трехмерной связи. Если l3 больше 1, говорят о положительной трехмерной связи. Если l3 меньше – об отрицательной трехмерной связи и т.д.
Отношения преобладаний играют огромную роль при анализе номинальных данных. Далее учет многомерности фактически встречающихся в социальной реальности связей становится одной из наших главных задач
2.4. Связь типа "альтернатива-альтернатива"