Исследование движения тел при наличии аэродинамических сил сопротивления

Цель работы:изучение законов движения твёрдого тела при наличии аэродинамических сил сопротивления при максимальном и минимальном значениях этих сил.

Теоретическое обоснование

При движении тел в воздухе последний оказывает сопротивление этому движению. С этим явлением сталкиваются летательные аппараты, перемещающиеся в воздушном пространстве. При относительно малых скоростях движения это сопротивление пропорционально скорости и проекции площади пластинки (твёрдого тела) на плоскость, перпендикулярную направлению скорости. Лабораторная установка представляет собой блок с двумя спицами и укреплёнными на них пластинками-лопастями. На цилиндр, жёстко соединённый с блоком, наматывается нить с грузом на конце. Груз, опускаясь, приводит во вращение блок с пластинками. Грузы на спицах увеличивают момент инерции, это приводит к возрастанию времени движения и позволяет измерить его более точно.

а б

Рис. 14.1. Общий вид лабораторной установки:

а – лопасти перпендикулярны вектору линейной скорости; б – лопасти параллельны вектору линейной скорости;

1 – платформа крепления блока; 2 – нить; 3 – блок с закреплёнными лопастями и противовесами, на оси которого навинчена катушка; 4 – падающий груз; 5 – лопасть; 6 – противовес (показан один из двух); 7 – стержень для крепления лопастей

Рассмотренные в лабораторной работе закономерности имеют место при полётах летательных аппаратов в зависимости от их положения к вектору скорости летательного аппарата.

Общий вид установки приведена на рис. 14.1. На горизонтальной оси может вращаться (в подшипниках) блок (3) с укреплёнными на нём двумя спицами с пластинками-лопастями (5) и двумя стержнями с грузами (6). Блок со стержнями, несущими грузы, и лопастями уравновешен на оси.

Пренебрегая силами трения в подшипниках, силами трения грузов через нить о блок и силами трения спиц о воздух, уравнения движения системы можно записать в виде:

(14.1)

где m – масса груза;

a –ускорение движения груза;

g – ускорение силы тяжести;

T–натяжение нити;

I– момент инерции вращающейся части установки;

– угловое ускорение;

r – радиус цилиндра;

С – коэффициент момента лобового сопротивления пластинки;

– угловая скорость.

Из уравнений (14.1) для углового ускорения получим

(14.2)

где (14.3)

(14.4)

Из уравнения (14.2) следует, что ускорения движения тел (пластинки и груза на нити) зависят от угловой скорости. Если поверхность пластинки нахо-

дится в плоскости вращения, то, полагая С = 0 , из уравнений (14.4) и (14.2) получим вращение пластинки с постоянным угловым ускорением

(14.5)

Зная расстояние h, проходимое грузом P за время t, находим

(14.6)

В общем случае (то есть при ) скорость вращения нарастает, но приближается к некоторой наибольшей постоянной величине Величина этой скорости может быть получена из условия, что ускорение с момента достижения этой скорости должно быть рано нулю. Тогда из уравнения (14.2) имеем

(14.7)

Для максимальной скорости опускания груза Р получим

(14.8)

Допустим, что экспериментально получена (см. ниже) кривая – расстояние h, проходимое грузом как функция времени t, то есть h = f(t). Тангенс угла наклона касательной к линейному участку этой кривой даёт приближённое значение максимальной скорости опускания груза

(14.9)

Из уравнений (14.8) и (14.9) определяем

(14.10)

Дополнение. Значение наибольшей скорости вращения, как указывалось выше, приближённо. Действительно, из уравнения (14.2) имеем

Интегрируя с учётом, что при t = 0 угловая скорость после преобразования получим

Из этого уравнения видно, что асимптотически приближается к своему наибольшему значению и делается равным ему только при

Аналогичного рода закономерности встречаются нередко. Например, нарастание силы тока в цепи, имеющей катушку самоиндукции, или разности потенциалов на обкладках конденсатора при его зарядке приводят также к асимптотическим зависимостям.

Определение величин, изменяющихся асимптотически, тем точнее, чем длительнее время их наблюдения. В нашем случае определение максимальной угловой скорости вращения будет тем точнее, чем больше расстояние, проходимое грузом на нити.

Описание установки

Внешний вид установки показан на рис. 14.1. На горизонтальной оси установки вращается в подшипниках блок (3), с которого разматывается нить (2) с укреплёнными на нём двумя спицами с лопастями (5) и двумя стержнями с грузами (6). На эту же ось навинчивается сменная катушка. Блок с пластинками-лопастями и стержнями, несущими грузы, уравновешен на оси. Масса блока – 735 г.

На катушку, имеющую два радиуса (малый и большой – малая и большая катушка соответственно), наматывается нить, к концу которой прикреплён груз (4). Груз, опускаясь, приводит во вращение блок с лопастями. Вся система укреплена на штативе, который снабжён шкалой для измерения расстояния, проходимого грузом. Пользуясь одним грузом на нити, можно изменять скорость вращения пластинок, перемещая грузы по стержням. Грузы на стержне увеличивают момент инерции стержня. Это приводит к возрастанию времени движения и позволяет измерить время более точно.

Поворотом стержней (7) вокруг их продольной оси лопасти могут быть установлены и закреплены так, что вектор линейной скорости их элементов при движении пластинки под действием груза (4) будет нормален или параллелен её плоскости. В первом случае аэродинамическое сопротивление пластинки будет максимальным, во втором – минимальным.

Величина массы груза (4) и значения радиусов намотки нити приведены на установке.

В лабораторной работе также используется секундомер, метровая линейка, транспортир и миллиметровая бумага для построения графиков.

Подготовка к проведению работы

1. Проработать тему по учебнику: С.М. Тарга «Краткий курс

теоретической механики», М.: 1995.

2. Проработать методические указания к лабораторной работе.

3. Подготовить расчётные формулы и таблицы для записи вычислений.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Порядок выполнения работы

1. Установить поверхности лопастей так, чтобы их лобовое сопротивление было максимальным.

2. Проверить уравновешенность стержней на оси вращения.

3. Тщательно, виток к витку, намотать нить на блок или катушку малого радиуса. Диаметр блока указан на лабораторной установке. Нижняя часть груза (4) должна быть на одном уровне с нулевым делением шкалы на штативе.

4. По секундомеру определить время опускания груза для нескольких определённых расстояний h. Значения этих расстояний указаны на установке и в табл. 14.1. Внести данные в табл. 14.1.

5. Установить поверхности лопастей так, чтобы их лобовое сопротивление было минимальным.

6. Повторить пп. 2 – 4 для минимального лобового сопротивления. Результаты внести в табл. 14.1.

7. Заменить катушку малого радиуса катушкой большого радиуса. Повторить п. 3, наматывая нить на катушку большого радиуса. Размеры катушек (радиусы) измерить штангенциркулем.

8. Повторить п. 4 для катушки большого радиуса. Результаты внести в табл. 14.2.

9. Повторить п. 5 для катушки большого радиуса.

10. Повторить пп. 2 – 4 для катушки большого радиуса. Результаты внести в табл. 14.2.

Таблица 14.1

Малая катушка
Максимальное сопротивление	Минимальное сопротивление
h = 0,4 м	t = c	h = 0,4 м	t = c
h = 0,6 м	t = c	h = 0,6 м	t = c
h = 0,8 м	t = c	h = 0,8 м	t = c
h = 0,9 м	t = c	h = 0,9 м	t = c
h = 1,0 м	t = c	h = 1,0 м	t = c

Таблица 14.2

Большая катушка
Максимальное сопротивление	Минимальное сопротивление
h = 0,4 м	t = c	h = 0,4 м	t = c
h = 0,6 м	t = c	h = 0,6 м	t = c
h = 0,8 м	t = c	h = 0,8 м	t = c
h = 0,9 м	t = c	h = 0,9 м	t = c
h = 1,0 м	t = c	h = 1,0 м	t = c

Обработка результатов

1. По данным табл. 14.1 на миллиметровой бумаге построить графики h = f(t), откладывая по оси абсцисс время t, а по оси ординат – расстояние h. Все графики строятся на миллиметровой бумаге в одном масштабе (рис. 14.3).

2. По данным табл. 14.2 на миллиметровой бумаге построить графики h = f(t), откладывая по оси абсцисс время t, а по оси ординат – расстояние h. Все графики строятся на миллиметровой бумаге в одном масштабе (рис. 14.4).

3. По графикам h = f(t) определить значения угла наклона касательной к линейному участку этой кривой раздельно для малого и большого радиусов катушек, вычислить средние арифметические значений угла, Результаты записать.

4. По формуле (14.6)

вычислить величины А для случаев малого и большого радиусов катушек. Результаты внести в табл. 14.3 и 14.4. Рассчитать средние арифметические значения величин А и использовать их в дальнейшем.

5. По формуле (14.10) определить величину В. Значения параметра А взять из табл. 14.3 и 14.4. Величины параметра В внести в табл. 14.5. Вычислить средние значения параметра В для малой и большой катушек и внести в табл. 14.5.

6. Из формулы (14.3)

определить моменты инерции I для малой и большой катушек. В расчётах использовать массы катушек (указаны на установке) и средние величины параметра А из табл. 14.3 и 14.4 для максимального и минимального аэродинамических сопротивлений. Результаты записать.

7. По формуле (14.4)

определить значения коэффициента С момента лобового сопротивления лопастей. В формулу подставлять средние значения параметра В из табл. 14.5 для малой и большой катушек при максимальном и минимальном лобовых сопротивлениях. Результаты записать.

8. Сформулировать выводы по изменению параметров А, В и С для случаев использования малой и большой катушек при максимальном и минимальном аэродинамических лобовых сопротивлениях.

Таблица 14.3

Малая катушка
Максимальное сопротивление	Минимальное сопротивление
h = 0,4 м	t = c	Ai =	h = 0,4 м	t = c	Ai =
h = 0,6 м	t = c	Ai =	h = 0,6 м	t = c	Ai =
h = 0,8 м	t = c	Ai =	h = 0,8 м	t = c	Ai =
h = 0,9 м	t = c	Ai =	h = 0,9 м	t = c	Ai =
h = 1,0 м	t = c	Ai =	h = 1,0 м	t = c	Ai =

Таблица 14.4

Большая катушка
Максимальное сопротивление	Минимальное сопротивление
h = 0,4 м	t = c	Ai =	h = 0,4 м	t = c	Ai =
h = 0,6 м	t = c	Ai =	h = 0,6 м	t = c	Ai =
h = 0,8 м	t = c	Ai =	h = 0,8 м	t = c	Ai =
h = 0,9 м	t = c	Ai =	h = 0,9 м	t = c	Ai =
h = 1,0 м	t = c	Ai =	h = 1,0 м	t = c	Ai =

Таблица 14.5

Малая катушка	Большая катушка
Максимальное сопротивление	Минимальное сопротивление	Максимальное сопротивление	Минимальное сопротивление
В =	В =	В =	В =
В =	В =	В =	В =
В =	В =	В =	В =
В =	В =	В =	В =
В =	В =	В =	В =

а б

Рис. 14.3. Графики движения груза при максимальном (а) и минимальном (б) лобовом сопротивлении (для малой катушки)

14.4. Графики движения груза при максимальном (а) и минимальном (б) лобовом сопротивлении (для большой катушки)

Контрольные вопросы

1. Разъясните влияние на сопротивление движению тела в воздушном пространстве скорости тела и его площади.

2. Как влияют на время вращательного движения балансировочные грузы на спицах лабораторной установки?

3. Запишите уравнения движения механической системы применительно к данной работе и объясните входящие в них величины.

4. От чего зависят ускорения движения лопастей и грузов при их вращении?

5. Приведите формулу определения параметра А, его физический смысл и объясните входящие в формулу величины.

6. Как вычисляется параметр А в данной лабораторной работе?

7. Приведите формулу определения параметра В, его физический смысл и объясните входящие в формулу величины.

8. Как вычисляется параметр В в данной лабораторной работе?

9. Как определяются максимальная угловая скорость вращения и максимальная линейная скорость опускания груза?

10. Выведите формулу для определения коэффициента момента лобового сопротивления.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Афанасьев А.М. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов/ А.М. Афанасьев, В.М. Марьин. – М.: Наука, 1975. – 287 с.

2. Кассандрова О.Н. Обработка результатов наблюдений/ О.Н. Касандрова, В.В. Лебедев. – М.: Наука, 1970. – 109 с.

3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики/ Н.Н. Никитин. – М.: Высшая школа, 1990. – 606 с.

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики/ С.М. Тарг. – М.: Высшая школа, 1995. – 416 с.

5. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики/ Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. - СПб.: Лань, 1998. – 736 с.

Учебное издание

Кириленко Алексей Иванович

Шинкевич Александр Николаевич

Теоретическая механика

Лабораторный практикум

Ответственный за выпуск

Н.Л. Рипинская

­­­­­­­____________________________________________________________

Подписано в печать 8.10.2009. Формат бумаги А4. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс».

Усл. печ. л. 6,5. Тираж 45 экз. Заказ № 244.

Отпечатано в редакционно-издательском отделе МГВАК

с авторского оригинал-макета

220096, г. Минск, ул. Уборевича, 77