Изучение движения центра масс твёрдого тела

Цель работы: изучить закономерности движения центра масс двойного конуса по наклонным сходящимся направляющим, определить влияние угла

наклона направляющих на время скатывания и условия, при которых тело будет неподвижным.

Теоретическое обоснование

Изучение движения центра масс твёрдого тела проводится на примере движения катка в форме двойного конуса. Каток совершает движение по сходящимся направляющим, верхние рёбра которых представляют собой наклонную плоскость (рис. 8.1). Такой каток способен двигаться вниз и вверх по наклону или может оставаться неподвижным.

Рис. 8.1. Общий вид экспериментальной установки

Наблюдая за экспериментами, можно заметить, что даже если каток в форме двойного конуса движется вверх по горке, он в действительности опускается. Ведь в отличие от цилиндра или саней, съезжающих с горы, у конусного катка расстояние до опоры меняется. Так, по мере продвижения катка в гору просвет между опорными рейками расширяется, и каток опирается на них всё более узкими частями, катится по всё меньшему радиусу, приближаясь осью к рейкам. В зависимости от того, что меняется быстрее – высота реек или соответствующее ей снижение катка, каток будет двигаться вверх или вниз. Каток всегда стремится опуститься – занять положение с наименьшей потенциальной энергией. Если же высота центра тяжести не меняется, то есть поднятие по рейке компенсируется таким же опусканием катка, то он останется на месте. Отсюда можно найти критическое соотношение параметров установки, при выполнении которого каток будет находиться на направляющих (на горке) в безразличном равновесии.

Очевидно, что параметров, способных влиять на исход эксперимента, только три – угол между рейками, угол их скоса и угол конусности катка, составляемый образующей конуса с его осью (рис. 8.2 а). Если каток

а б

Рис. 8.2. Параметры движения двойного конуса по наклонным направляющим;

а – геометрические параметры; б – силовые параметры

пройдёт вдоль рейки расстояние l, точка его опоры К поднимется на l tg , при этом точки опоры катка разойдутся от его средней плоскости (от общего основания конусов) на b = l sin , а радиус качения уменьшится на b tg = l sin tg (рис. 8.2 а).

Итак, поднятие опоры катка на l tg из-за въезда на горку сопровождается его опусканием на l sin tg из-за сближения оси О с рейкой. Если поднятие больше опускания, то каток съезжает, если меньше – каток катится в гору. Если эти изменения высоты компенсируют друг друга, то высота центра катка не меняется. Иными словами, если выполнено критическое соотношение tg = sin tg , каток не пойдёт ни вверх, ни вниз по горке – он будет находиться в безразличном положении равновесия.

Однако энергетические соображения позволяют узнать исход эксперимента, сказать, как поведёт себя каток, но не объясняют почему. Поэтому рассмотрим действующие на каток силы. Ведь движение санок с горки вниз обычно объясняют не тем, что это им выгоднее энергетически, а тем, что их притягивает земля. Цилиндр катится с горки не потому, что знает, где «лучше», а из-за того, что действующая на него сила тяжести G создаёт соответствующий

вращательный момент относительно точки опоры. Для цилиндра точка касания К всегда лежит по отношению к горке выше его центра тяжести О, поэтому момент направлен так, что цилиндр катится вниз (рис. 8.2 б). У катка точка К может находиться ближе к началу горки или под центром тяжести; соответственно, момент направлен так, что каток поедет вверх или останется неподвижным. (Это напоминает известный опыт с катушкой, которая в зависимости от угла, под которым мы тянем намотанную на неё нить, катится к нам или от нас).

Итак, чтобы каток находился в покое, точка касания К должна лежать точно под осью О конуса, то есть перпендикуляр КО к оси конуса должен быть вертикален. Значит, угол, образованный рейкой-касательной и прямой КО должен быть равен 90^о - . Отсюда из геометрии конуса легко прийти к тому же соотношению tg = sin tg , при котором каток остаётся неподвижен. Меняя один из углов (проще всего изменять угол ), мы смещаем точку К. Соответственно, для двойного конуса горка оказывается «горизонтальной» либо наклонённой «вправо» или «влево». Теперь, когда ясен смысл критического соотношения, его можно не только проверить на практике, измерив транспортиром все углы, но и применить для видоизменения опыта. Так, становится ясно, что не обязательно использовать каток, имеющий форму биконуса типа «катушка». Это будет соответствовать изменению угла на - . Значит, надо сменить и знак угла - чтобы рейки соединялись не узкими, а широкими концами.

Иллюзию поднятия катка вверх по горке можно усилить, если сделать угол большим – градусов в 45. Понятно, что одновременно надо увеличить углы и , так что в итоге каток станет похож на две сложенные вместе тарелки. Или можно сделать опускание центра тяжести катка малозаметным, для чего надо предельно уменьшить угол , чтобы рейки выглядели почти параллельными, а угол , напротив, сделать большим. А чтобы размер катка был не слишком велик и его конусность не бросалась в глаза, надо оставить только его концевые части, катящиеся по рейкам, как колёса вагонов по рельсам. Поэтому конусные колёса должны соединяться не основаниями или вершинами, а общей осью. Если теперь присоединить проволокой пару таких колёсных осей (а проще – пару простых катушек) к коробку, получится настоящая тележка-самокатка, способная ехать в гору, с которой другие предметы (цилиндры и бруски) съезжают. Такая тележка кажется чудом – столь сложно заметить у неё снижение центра масс при въезде в горку. Если же соединить колёса с тележкой жёстко и смазать «рельсы», можно получить сани, «въезжающие на гору».

Дополнения. Можно рассмотреть и более сложные варианты. Если изогнуть картонные рейки так, что угол нарастает, то каток будет выше некоторой критической точки закатываться вверх, а ниже её – спускаться вниз, то есть будет всегда удаляться от этой точки. Если же картонные рейки постепенно сходятся и угол уменьшается, каток будет всегда стремиться к точке

с критическим углом . Доехав до неё, он станет, как в яме, кататься туда-обратно, пока не замрёт в этой точке.

Другой вариант – когда рейки параллельны друг другу (угол постоянен), зато меняется угол - гора меняет наклон. На ней тоже будет критическая точка при некотором угле , являющаяся точкой устойчивого равновесия катка, смотря по тому, вогнуты рейки или выпуклы по контактной поверхности.

Третий вариант – углы и постоянны, но меняется угол . Такое возможно, если использовать каток не из конусов, а из других тел вращения, имеющих криволинейную образующую. Например, каток из двух пластиковых бутылок не с конусной, а с закруглённой верхушкой. Можно использовать вместо конических скруглённые наконечники от рукояток или шарики для пинг-понга. Для каждого из таких катков есть своё определённое критическое место на горке, в точке контакта с которым угол равен критическому. Положенный выше этого места каток катится вверх, а ниже – вниз. Для того, чтобы эта точка служила местом устойчивого равновесия, необходимо применять катки в вогнутой поверхностью.

Определим расчётным путём момент инерции двойного конуса по его геометрическим размерам и массе.

Пусть радиус основания прямого конуса равен R, а половинный угол при вершине . Тогда высота конуса

(8.1)

Продифференцируем это выражение, учитывая, что радиус r бесконечно тонких дисков толщиной dh уменьшается с увеличением расстояния от основания конуса к его вершине. Имеем

(8.2)

Масса бесконечно тонкого диска толщиной dh с радиусом r равна Его момент инерции

(8.3)

где - плотность материала конуса.

Интегрируя по радиусу от нуля до R, получим

(8.4)

Учитывая, что три первых сомножителя дают массу конуса m, получим

(8.5)

Поскольку наш каток – двойной конус, то его полный момент инерции равен

(8.6)

где m - полная масса двойного конуса.

Описание оборудования

Общий вид экспериментальной установки приведен на рис. 8.1. В лабораторной работе используются: транспортир, линейка, треугольник, штангенциркуль, лист бумаги или миллиметровки формата А3, набор калиброванных пластинок толщиной от 1 до 5 мм, секундомер, аналитические весы.

Подготовка к проведению работы

1. Проработать тему по учебнику С.М. Тарга «Краткий курс теоретической механики» М., 1995.

2. Проработать методические указания к лабораторной работе.

3. Подготовить расчётные формулы и таблицу для записи вычислений.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Порядок выполнения работы

1. Приложить к листу бумаги направляющие рейки. Определить угол наклона направляющих (угол наклона горки, угол скоса реек) и угол схождения направляющих реек. Проделать не менее трёх измерений и вычислить средние величины. Результаты внести в табл. 8.1.

2. С помощью линейки определить длину направляющих реек L и результат внести в табл. 8.1.

3. Штангенциркулем измерить диаметр основания двойного конуса, проделать не менее трёх измерений, вычислить среднее значение и результат внести в табл. 8.1.

4. Приложить конус к листу бумаги, определить угол , проделать не менее трёх измерений, вычислить среднее значение, разделить его пополам и значение угла внести в табл. 8.1.

5. По этим данным проверить выполнение критического соотношения tg = sin tg . Вычисления записать.

6. С помощью треугольника определить возвышение оси двойного конуса в начале (h₁) и в конце (h₂) подъёма и убедиться в том, что ось опускается при подъёме конуса. Результаты внести в табл. 8.1.

7. По формуле (8.6) вычислить момент инерции двойного конуса и результат внести в табл. 8.1.

8. Подложить под широкую часть направляющих калиброванную пластинку толщиной Н = 1 мм и секундомером определить время скатывания двойного конуса. Результат внести в табл. 8.1.

9. Проделать п. 8 для пластинок толщинами 2, 3, 4 и 5 мм, результаты внести в табл. 8.1. Зафиксировать толщину пластинки, при которой скатывание прекращается.

Таблица 8.1

Геометрические параметры установки
			L= м	D = м
Масса двойного конуса m = кг
Возвышение оси двойного конуса h1 = мм h2 = мм
Момент инерции двойного конуса кг м2
Время скатывания двойного конуса
1 мм. с	2 мм. с	3 мм. с	4 мм. с	5 мм. с

Обработка результатов

Определить углы наклона направляющих реек при подкладывании пластинок для всех пяти случаев по формуле

где H – толщины калиброванных пластинок;

L – горизонтальная длина направляющих.

Результаты записать

; ; ; ; .

Выделить угол, при котором двойной конус остаётся неподвижным.

Контрольные вопросы

1. Объясните явление изменения высоты оси двойного конуса при его движении по направляющим.

2. Проведите анализ факторов, влияющих на перемещение катка вверх или вниз.

3. Нарисуйте геометрическую схему катка на направляющих и укажите все геометрические параметры.

4. Приведите формулу критического геометрического соотношения, при котором каток будет неподвижен.

5. Нарисуйте схему влияния силовых параметров на скатывание цилиндрического и конического катков.

6. Объясните явление подъёма катка по наклонным направляющим.

7. Приведите формулу определения высоты конуса и объясните входящие в неё величины.

8. Дайте определение осевого момента инерции твёрдого тела.

9. Выведите формулу момента инерции конуса.

10. Запишите формулу момента инерции двойного конуса и объясните входящие в неё величины.

Лабораторная работа № 9