Изучение качения цилиндра по цилиндру

Цель работы:исследовать качение цилиндра по цилиндру и проверить формулу для определения периода малых колебаний полого цилиндра при движении по неподвижной цилиндрической поверхности большого радиуса.

Теоретическое обоснование

Рассмотрим качение малого цилиндра массы m и радиуса r по внутренней цилиндрической поверхности радиуса R (рис. 7.1 а). Введём следующие обозначения:

AO₁ = R – r , AB₁ = (R – r) (1 – cos );

где А – центр кривизны большого цилиндра;

О₁ – центр малого цилиндра радиуса r;

О – точка соприкосновения внутренней поверхности большого цилиндра и внешней поверхности малого, АВ = АО₁ и точка В соответствует самому нижнему положению точки О₁ (положению устойчивого равновесия) при движении малого цилиндра;

- угол отклонения (малый) малого цилиндра от положения устойчивого равновесия.

а б

Рис.7.1. Схема качения цилиндра по цилиндру:

а - основные геометрические характеристики качения; б - проекция точки О₁ на вертикальную ось

Движение малого цилиндра радиуса r можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси О с угловой скоростью ω, – скорость центра масс (центра симметрии) малого цилиндра (массой m) в условиях отсутствия проскальзывания. Тогда

= ωr. (7.1)

С другой стороны, центр масс малого цилиндра движется вокруг точки А с линейной скоростью

(7.2)

Угол𝜑 изменяется во времени и поэтому 𝜑'(t) – мгновенная угловая скорость. Приравняем (7.1) и (7.2) и в результате получим

Определим частоту малых колебаний при качении малого цилиндра по внутренней поверхности большого. Для этого воспользуемся энергетическим подходом. Внешний (большой) цилиндр неподвижен.

Кинетическая энергия движения малого цилиндра состоит из кинетической энергии вращательного и поступательного движений (случай плоскопараллельного движения)

(7.3)

где J – момент инерции малого цилиндра;

m – масса малого цилиндра;

a - расстояние от мгновенной оси вращения до параллельной оси, проходящей через центр масс качающегося тела.

Потенциальная энергия связана с подъёмом центра масс малого цилиндра при его движении (см. рис. 7.1 б)

(7.4)

Здесь использована приближённая формула

справедливая при малых колебаниях.

Будем считать, что при движении потерь энергии нет, следовательно, полная механическая энергия движущегося внутреннего цилиндра сохраняется. Закон сохранения энергии

где Т – кинетическая энергия движения;

П – потенциальная энергия;

С– запас механической энергии малого цилиндра.

Используя формулы (7.3) и (7.4), получаем

(7.5)

Дифференцируем это выражение по времени t:

Угловая скорость 𝜑’(t) не всегда обращается в нуль, поэтому в данном дифференциальном уравнении её можно сократить. Получаем

(7.6)

Это уравнение малых (гармонических) колебаний. Отсюда собственная циклическая частота колебаний

(7.7)

Период колебаний

(7.8)

Эта формула пригодна для определения качательных колебаний не только сплошных цилиндров, но и цилиндрических оболочек с нулевой толщиной, а также цилиндрических трубок со стенками конечной толщины.

Описание оборудования

Общий вид установки для изучения качения цилиндра по цилиндру представлен на рис. 7.2. В работе используются сплошные и полые цилиндры разных размеров и масс, секундомер, штангенциркуль, линейка, треугольник, две фиксирующие призмы, аналитические весы, лист писчей или миллиметровой бумаги формата А4.

Рис. 7.2. Общий вид установки для изучения качения цилиндра по цилиндру

Подготовка к проведению работы

1. Проработать тему по учебнику С.М. Тарга «Краткий курс теоретической механики» М., 1995.

2. Проработать методические указания к лабораторной работе.

3. Подготовить расчётные формулы и таблицы для записи вычислений.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Порядок выполнения работы

1. Вывести формулу для периода колебаний сплошного малого цилиндра из формулы (7.8) , учитывая, что момент инерции цилиндра относительно продольной оси

2. Вывести формулу для периода колебаний полого малого цилиндра из формулы (7.8) , учитывая, что момент инерции полого цилиндра относительно продольной оси (см. рис. 7.3 а)

3. Результаты внести в табл. 7.1.

4. Измерить штангенциркулем радиусы малых цилиндров, на аналитических весах определить массы цилиндров.

5. Результаты внести в табл. 7.1.

6. Определить радиус кривизны внутренней поверхности большого цилиндра. Для этого приложить цилиндр к листу бумаги и обвести его внутренний контур карандашом. Выбрать две произвольные хорды (см. рис. 7.3 б), разделить их пополам и восстановить срединные перпендикуляры. Точка пересечения перпендикуляров даст центр кривизны цилиндра (точка О). Радиус кривизны определить измерением. Проделать три измерения с различными хордами и взять среднюю величину радиуса R.

R’= м; R’’= м; R’’’= м; R_ср= м.

7. Подложить под большой цилиндр фиксирующие призмы, так как выведенные соотношения верны при условии, что цилиндр большого радиуса не качается.

8. Определить по секундомеру период одного полного колебания всех малых цилиндров, отклонив их от положения равновесия. Повторить эксперимент три раза.

9. Результаты внести в табл. 7.2.

а б

Рис. 7.3. Схема к определению радиуса кривизны большого цилиндра:

а - радиусы полых цилиндров; б - определение радиуса кривизны большого цилиндра

К определению радиуса кривизны: AD = DB, BE = EC, OC = OB = OA = R, OD AB, OE BC.

Таблица 7.1

Формулы для периода колебаний
Сплошной цилиндр	Полые цилиндры
Размеры и массы цилиндров
Масса цилиндра m, кг		Масса цилиндра m, кг
Радиус цилиндра R, м		Радиус цилиндра R1, м
Величина a, м		Радиус цилиндра R2, м
	Масса цилиндра m, кг
Радиус цилиндра R1, м
Радиус цилиндра R2, м
Масса цилиндра m, кг
Радиус цилиндра R1, м
Радиус цилиндра R2, м

Таблица 7.2

Сплошной цилиндр	Полые цилиндры
1 , с		1’ , c
2 , с		2’ , c
3 , с		3’ , c
	1’’ , c
2’’ , c
3’’ , c
1 ’’’ , c
2 ‘’’ , c
3 ’’’ , c

Обработка результатов

1. Для сплошного и полых цилиндров определить суммы измерений по формуле

и результат внести в табл. 7.3.

2. Вычислить средние арифметические и результат внести в табл. 7.3

3. Вычислить отклонения отдельных измерений от среднего арифметического по формуле

и результаты внести в табл. 7.3.

4. Отклонения возвести в квадрат, определить сумму и результаты внести в табл. 7.3.

5. Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение серии измерений

,

результаты внести в табл. 7.3.

6. Определить коэффициент вариации и результат внести в табл. 7.3

7. Вычислить доверительный интервал среднего значения измерений при доверительной вероятности 0,90, выбрав критерий Стьюдента из табл. 3.1 для числа степеней свободы k = m - 1 и результат записать в табл. 7.3

8. Записать достоверное значение периода колебаний в табл. 7.3 с указанием единицы измерения

9. По выведенным формулам вычислить теоретические периоды колебаний для всех цилиндров

10.

сплошной цилиндр = ; полый цилиндр = ;

полый цилиндр = ; полый цилиндр = .

10. Оценить погрешность эксперимента для всех цилиндров по формуле

,

записать результаты и сделать выводы.

Таблица 7.3

Вычисляемые величины	Сплошной цилиндр	Полые цилиндры

Контрольные вопросы

1. Нарисуйте и объясните схему качения малого цилиндра внутри большого.

2. Приведите определение мгновенной оси вращения.

3. Дайте определение центра масс тела.

4. Выведите формулу угловой скорости малого цилиндра.

5. Запишите формулу кинетической энергии движения малого цилиндра и объясните входящие в неё величины.

6. Запишите формулу потенциальной энергии малого цилиндра и объясните входящие в неё величины.

7. Приведите определение осевого момента инерции тела.

8. Запишите формулу периода качательных колебаний цилиндра и объясните входящие в неё величины.

9. Выведите формулу для периода колебаний сплошного цилиндра.

10. Выведите формулу для периода колебаний полого цилиндра.

Лабораторная работа № 8