Кристаллографическая симметрия

Реферат

Чернецкий Р.Д.. Определение симметрийных инвариантов термодинамического потенциала тригонального кристалла // Бакалаврская работа на соискание квалификационного уровня «бакалавр» по специальности 6.040203 – Физика» / Таврический Национальный университет имени В.И. Вернадского – Симферополь, 2014. - 26 с., 3 раздела, 1 рис., 5 источников.

Цель исследования: Определить симметрийные инварианты упругой и магнитоупругой энергии ромбоэдрического антиферромагнитого кристалла.

Основные результаты: В данной работе описаны основные принципы кристаллографической симметрии с акцентированием внимания на тригональных кристаллах, одним из ярких представителей которых является борат железа. На основе этих принципов построены инварианты упругой и магнитоупругой энергии ромбоэдрического антиферромагнетика. Также дана характеристика различных видов энергии антиферромагнитного кристалла.

Ключевые слова:

ПРИНЦИП НЕ ЙМАНА, ТРИГОНАЛЬНЫЙ КРИСТАЛЛ, БОРАТ ЖЕЛЕЗА, ОБМЕННАЯ ЭНЕРГИЯ, УПРУГАЯ ЭНЕРГИЯ, МАГНИТОУПРУГАЯ ЭНЕРГИЯ, ЭНЕРГИЯ ДЗЯЛОШИНСКОГО, ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИИ.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………...
РАЗДЕЛ 1. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ…………........
1.1. Точечные группы симметрии................................................................
1.2 Симметрия тригонального кристалла...................................................
1.3. Принципы кристаллофизики…………………….................................
1.3.1. Принцип Неймана……………………………………………… 1.3.2. Принцип Кюри………………………………………………….
РАЗДЕЛ 2. ЭНЕРГИЯ АНТИФЕРРОМАГНИТНОГО КРИСТАЛЛА…. ..
2.1. Обменная энергия.………...................................................................... 2.2. Энергия магнитной кристаллографической анизотропии…………..
2.3. Энергия Дзялошинского........................................................................
2.4. Упругая энергия……………………………………………………….. 2.5. Магнитоупругая энергия………………………………………………
РАЗДЕЛ 3. ПОСТРОЕНИЕ СИММЕТРИЙНЫХ ИНВАРИАНТОВ……..
3.1. Инварианты упругой энергии................................................................ 3.2. Инварианты магнитоупругой энергии………………………………..
ВЫВОДЫ…………………………………………………………..................
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……...............................

Введение

Как известно, слагаемые, входящие в термодинамический потенциал кристалла определяются его точечной группой кристаллохимический симметрии: они являются инвариантными относительно всех преобразований симметрии данной группы.

Занимаясь исследованиями, связанными с монокристаллом бората железа (симметрия ), изучая эффекты, требующие учета упругой и МУ энергий этого кристалла, мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда в литературе существует разночтение в записи соответствующих выражений. Очень часто у различных авторов некоторые весьма существенные слагаемые теряются. Такое разночтение, видимо, связано с громоздкостью и трудоемкостью процесса определения нужных инвариантов. Поэтому мы посчитали необходимым восполнить существующий пробел и получить все необходимые инварианты для упругой и магнитоупругой энергий бората железа из первых принципов – путем симметрийного анализа.

РАЗДЕЛ 1

КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ

1.1. Точечные группы симметрии

Кристаллографическая точечная группа симметрии — это точечная группа симметрии, которая описывает макросимметрию кристалла. Поскольку в кристаллах допустимы оси только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков, из всего бесконечного числа точечных групп симметрии только 32 относятся к кристаллографическим.

В теории точечных групп симметрии выделяют три категории: низшая, средняя, высшая. К низшим группам относят точечные группы, в которых максимальный порядок оси равен двум. Средней группе характерно наличие одной оси, порядок которой выше двух (ось высшего порядка). В высшей категории присутствуют несколько осей высшего порядка.

Группы симметрии с единой координатной системой объединяются в одну сингонию. Всего выделяют шесть сингоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, гексагональная и кубическая.

1.2 Симметрия тригонального кристалла

Ромбоэдрическая (или тригональная) система соответствует точечной группе симметрии , такой симметрией обладает ромбоэдр (фигура, получающаяся при растяжении или сжатии куба вдоль его пространственной диагонали). Узлы кристаллической решетки расположены в вершинах ромбоэдров. Тригональные кристаллы обладают главной осью третьего порядка.

Одним из представителей данного класса кристаллов является борат железа FeBO₃. Монокристаллы FeBO₃ были выращены в первый раз Берналом и его сотрудниками в 1963 году. В 1975 году Дил уточнил структурные параметры FeBO₃. Кристалл бората железа изоструктурен кальциту CaCO_3. Кристалл принадлежит к средней категории, тригональной (ромбоэдрической) сингонии. Формула симметрии в учебных обозначениях: L₃3L₂3PС. У него есть одна ось третьего порядка, три оси второго порядка, три плоскости и центр инверсии. На рис.1.1 представлена стереографическая проекция:

Рис.1.1 Стереографическая проекция бората

Принципы кристаллофизики

Основными принципами кристаллофизики являются принцип Неймана и принцип Кюри.

Принцип Неймана

Постулат, устанавливающий связь симметрии макроскопических физических свойств кристалла с симметрией его внешней формы. Согласно принципу Неймана, группа симметрии любого физического свойства должна включать в себя все элементы точечной группы симметрии кристалла. Таким образом, физическое свойство может обладать более высокой симметрией, чем точечная группа кристалла. Принцип Неймана утверждает лишь возможность существования у кристалла свойств, удовлетворяющих указанному условию, но не требует их обязательного наличия, то есть принцип является необходимым, но недостаточным условием существования у кристалла конкретных физических свойств.

Принцип Кюри

Согласно принципу Кюри, кристалл под внешним воздействием изменяет свою точечную симметрию так, что сохраняет лишь элементы симметрии, общие с элементами симметрии воздействия. Принцип Кюри позволяет определить симметрию кристалла после воздействия, в то время как принцип Неймана связывает симметрию свойств кристалла с симметрией самого кристалла до воздействия.

РАЗДЕЛ 2

ЭНЕРГИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ МАГНИТОУПРУГИЕ СВОЙСТВА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ

Энергия ферромагнитного кристалла складывается из нескольких частей: энергия обменного взаимодействия, энергия магнитной кристаллографической анизотропии, энергия магнитострикционных упругих напряжений, собственная, дипольная, энергия во внешнем магнитном поле. Для полной энергии кристалла следовательно можно записать

(2.1)

Обменная энергия

Обменная энергия определяет магнитную структуру кристалла: ферромагнетик или антиферромагнетик. Этот вид взаимодействия определяет относительную ориентацию магнитных моментов относительно друг друга. Поворот магнитных моментов как целого не меняет эту энергию и ориентация относительно кристаллографического направления не важна, следовательно этот вид энергии изотропен. Обычно это самое сильное взаимодействие в кристалле.

Рассмотрим энергию обменного взаимодействия. Энергия для двух электронов, имеющих спины может быть записана в виде

, (2.1.2)

где А – так называемый обменный интеграл, представляющий собой матричный элемент оператора электростатического, кулоновского взаимодействия при перемене электронов местами. Векторные величины по модулю являются числами. Квадрат абсолютного значения спина

(2.1.3)

Обменный интеграл, следовательно, имеет размеренность энергии. Энергия обменного взаимодействия, рассматриваемая как источник магнитного упорядочения, представляет собой разность между энергетическими уровнями триплетного и синглетного состояний системы двух электронов и равна удвоенному значению обменного интеграла.

Из формулы (2.1.2) видно, что при отрицательном значении обменного интеграла минимум энергии соответствует антипараллельная ориентация спинов, при положительном значении – параллельная.

Формулу (2.1.2) можно обобщить на случай кристалла, содержащего N электронов. Энергию обменного взаимодействия для кристалла рассчитывают как сумму попарных обменных взаимодействий по всем Nэлектронам:

(2.1.4)

Обменный интеграл А очень быстро убывает с увеличением расстояния между обменивающимися электронами. Поэтому при суммировании в формуле (2.1.4) часто ограничивается учетом ближайших соседей.

Обменные силы в ферромагнетиках стремятся установить элементарные магнитные моменты параллельно друг другу.