Общие замечания и напоминания

Def: Оператор А, действующий в вещественном линейном пространстве называется линейным, если "x, yÎV, "aÎR

1) A(x + y) = Ax + Ay

2) A(ax) = aA(x)

Def: Вектор xÎV, x ¹ 0 называется собственным вектором оператора А, если $aÎR такое, что Ax = ax и a при этом называется собственным значением оператора А.

1°. Собственные значения оператора А являются корнями характеристического уравнения det(A – lЕ) = 0. Наоборот, вообще говоря, неверно. Корень характеристического уравнения является собственным значением оператора А только в случае, когда этот корень вещественен.

Def: Оператор А^* называется сопряженным к оператору А, если "х, yÎV, (Ax, y) = (x, A^*y).

2°.Каждый линейный оператор А имеет единственный сопряженный оператор, который также является линейным.

При доказательстве этой теоремы в комплексном пространстве используется понятие полуторалинейной формы. В вещественном пространстве используется понятие билинейной формы.

Def: Функция В(x, y) называется билинейной формой в V, если "x, yÎV, "a, bÎR:

1) B(a₁x₁ + a₂x₂, y) = a₁B(x₁, y) + a₂B(x₂, y)

2) B(x,b₁y + b₂y₂) = b₁B(x, y₁) + b₂B(x, y₂)

3°. Для любой билинейной формы В(x, y) существует линейный оператор А такой, что В(x, y) = (Ax, y).

Aналогом эрмитовых форм в вещественном пространстве служат симметричные билинейные формы.

Def: Билинейная форма В(x, y) называется симметричной, если B(x, y) = B(y, x). Билинейная форма В(x, y) называется кососимметричной, если B(x, y) = -B(y, x).

4°. Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососиметричной билинейной формы.

5°. Для того, чтобы билинейная форма B(x, y), заданная в вещественном евклидовом пространстве V, была симметричной необходимо и достаточно, чтобы оператор А в представлении B(x, y) = (Ax, y) был самосопряженным.

Т°. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного

оператора А в евклидовом пространстве – вещественны.

◀ Пусть l = a + bi – корень характеристического уравнения det(A – lE) = 0. Пусть (a_ik) – элементы матрицы оператора в некотором базисе {e_ik}, (a_ikÎR). Будем искать решение системы , где l = a + bi. Система имеет решение i =1, 2, 3, …, n, ибо определитель системы равен 0. Пусть решение , k = 1, 2, 3, …, n. Подставляя в систему и приравнивая вещественные и мнимые части выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, имеем: ,

, или в векторном виде .

Умножим скалярно первое уравнение на y, а второе на x :

.

Учитывая, что (Ax, y) = (x, Ay) (ведь А – самосопряженный) имеем

a(x, y) – b(y, y) = a(x, y) + b(x, x), т.е. b((x, x) + (y, y)) = 0 Þ b = 0, т.е. l = aÎR ▶

6°. У каждого линейного самосопряженного оператора А в n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.

7°. В базисе из нормированных ортогональных собственных векторов матрица линейного самосопряженного оператора А имеет диагональный вид и по диагонали стоят собственные значения.

8°. В произвольном ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора будет симметричной (А^Т = А). Верно и обратное. Этим вещественный случай отличается от комплексного: в комплексном случае оператор А является эрмитовым, когда матрица этого оператора эрмитова (т.е. ).