Группы линейных преобразований
1°. Рассмотрим множество невырожденных линейных операторов (преобразований), действующих из Vn в Vn. Если определить произведение линейных операторов по правилу (AB)x = A(Bx), то:
Тº. Множество GL(n) невырожденных линейных преобразований линейного n-мерного пространства V с операцией умножения операторов введенной,как (АВ)х = А(Вх) представляет собой группу.
Эта группа называется группой линейных невырожденных преобразований линейного пространства Vn и обозначается: GL(n).
2°. Короткое воспоминание: Линейный оператор Р в евклидовом пространстве называется ортогональным, если "x, yÎV (евклидово пространство) (Px, Py) = (x, y).
Условие ортогональности оператора: Оператор Р2 ортогонален тогда и только тогда когда существует Р-1 и Р-1 = Р*.
Тº. Множество всех ортогональных операторов евклидового пространства Vn с
обычной операцией умножения линейных операторов образует группу.
Эта группа называется ортогональной группой и обозначается О(n).
◀ Пусть Р1 и Р2 – ортогональные операторы. Докажем, что Р1Р2 тоже ортогональный оператор (Р1Р2x, Р1Р2x) 
(Р2x, Р2x) 
(x, y) ▶
3°. Еще воспоминание: Если оператор Р ортогонален, то detP = ±1. Поэтому все ортогональные операторы Р делятся на два класса:
а) Р для которых detP = 1 (эти преобразования называются собственными)
б) Р для которых detP = -1 (эти преобразования называются несобственными)
Тº. Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, которая называется собственной ортогональной группой и обозначается SO(n).
4°. O(n) есть подгруппа GL(n); SO(n) есть подгруппа О(n).
5°. В комплексном линейном пространстве также можно рассмотреть группу линейных преобразований. Если в комплексном пространстве со скалярным произведением (унитарное пространство) рассмотреть множество линейных операторов, сохраняющих скалярное произведение: (Ux, Uy) = (x, y) (такие операторы называются унитарными), то окажется, что унитарные операторы образуют группу. Эта группа называется унитарной группой, обозначается Un и является аналогом ортогональной группы в унитарном пространстве.
Группа Лоренца
В физике, при изучении поведения тел (частиц) в пространстве и времени, часто полезно, из наглядных соображений, пользоваться 4х-мерным пространством векторов с координатами (ct, x, y, z)) (c – скорость света)). Такое пространство называется мировым пространством.
В этом пространстве событие изображается точкой в мировом пространстве или мировой точкой.
Частице в мировом пространстве соответствует мировая линия.
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К из точки (x1, y1, z1) в некоторый момент времени t1 отправлен сигнал со скоростью с и этот сигнал принят в точке (x2, y2, z2) в момент времени t2. Тогда расстояние, которое этот сигнал прошел, равно: 
, следовательно: c2(t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - - (y2 - y1)2 - (z2 - z1)2 = 0. В другой инерциальной системе отсчета К¢ будем иметь:
c2(t¢2 - t¢1)2 - (x¢2 - x¢1)2 - (y¢2 - y¢1)2 - (z¢2 - z¢1)2 = 0.
Принцип неизменности скорости света в различных системах отсчета в математической интерпретации обозначает, что не изменяется величина S, где: S2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 - - x1)2 - (y2 - y1)2 - (z2 - z1)2 .
Величина S называется интервалом между двумя событиями в мировом пространстве.
Преобразования, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета К к другой инерциальной системе отсчета К¢, движущейся относительно К с постоянной скоростью V в предположении бесконечности скорости света называются преобразованиями Галилея:
(x¢ = x +vt, y¢ = y, z¢ = z, t¢ = t).
Если же учитывать конечность скорости света, то такие преобразования носят названия преобразований Лоренца. Преобразования Лоренца сохраняют интервал. Если в указанном пространстве ввести: 
, то все векторы (и интервалы) разобьются на:
а) времени-подобные (s(x) > 0);
б) изотропные (s(x) = 0);
в) пространственно-подобные (s(x) < 0).
Если интервал между событиями времени-подобен, то существует К¢ в которой два события произошли в одном и том же месте мирового пространства.
Если интервал между событиями пространственно-подобен, то существует К¢ в котором два события произошли одновременно.
Два события могут быть связаны причинно-следственной связью, если интервал между ними времени-подобный.
Рассмотрим псевдоевклидово пространство Еn(p, q) в котором скалярное произведение (x, y) задано симметричной невырожденной билинейной формой, полярной знакопеременной квадратичной форме A(x, x), которая в некоторой системе координат(она называется Галилеевой) имеет вид: 
.
Def: Линейное преобразование Р псевдоевклидового пространства Еn(p, q) называется преобразованием Лоренца, если "x, yÎEn(p, q), (Рx, Рy) = (x, y).
Тº. Определитель преобразования Лоренца отличен от нуля и, следовательно, существует P-1. Доказать самостоятельно.
Тº. Произведение преобразований Лоренца есть преобразование Лоренца. Доказать
самостоятельно.
Таким образом:
Тº. Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидового пространства
Еn(p, q) c обычной операцией умножения линейных операторов образуют
группу, которая называется общей группой Лоренца псевдоевклидового
пространства Еn(p, q) и обозначена L(n; p, q). Доказать самостоятельно.
Группа L(n; 1, n-1) обозначается L(n). Группа Лоренцевых преобразований в рассмотренном выше Е4(1, 3) обозначается L(4).
Подгруппа группы L(n) преобразований Р, которые времени-подобные векторы переводят во времени-подобные векторы называется полной группой Лоренца и обозначается L(n).
Подгруппа группы L(n) преобразований Р, для которых detP > 0 называется собственной группой Лоренца и обозначается L+(n).
Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат L(n) т.е. переводят времени-подобные векторы во времени-подобные векторы также образуют подгруппу L(n), которая называется группой Лоренца и обозначается L(n).