Понятие группы. Подгруппы

Множество G элементов x, y, z, … произвольной природы называется группой, если в нем корректно введена внутренняя операция (закон композиции) т.е. "х, yÎG, $zÎG такое, что z = x⊕y или (z = x⊙y), удовлетворяющее условиям:

1) x⊕(y⊕z) = (x⊕y)⊕z ассоциативность 1) x⊙(y⊙z) = (x⊙y)⊙z;

2) $qÎG½"xÎG x⊕q = x нейтральный элемент 2) $еÎG½"xÎG x⊙е = x;

3) Понятие группы. Подгруппы - student2.ru обратный элемент 3) Понятие группы. Подгруппы - student2.ru .

Если введенная операция еще и коммутативная, т.е. x⊕y = y⊕x или (x⊙y = y⊙x), то группа называется абелевой.

Подмножество элементов G1 группы G называется подгруппой, если:

1) "х, уÎG1 ® x⊙yÎG1; 2) "хÎG1 ® x-1ÎG1.

(Здесь применена мультипликативная форма записи)

Подгруппа G1 группы G сама по себе является группой. Простейшими (тривиальными) подгруппами любой группы является сама группа и группа, состоящая из одного элемента – нейтрального.

Примеры групп

1) Аддитивные группы: {0}, Q, R, C, множество Zk целых чисел, кратных целому заданному k.

2) Понятие группы. Подгруппы - student2.ru Мультипликативные: {1}, {1, –1}, {1, i, –1, –i}, множество {zÎC½||z|| = 1}, P+ – множество вещественных положительных чисел, Q\{0}, R\{0}, C\{0}.

3) Группа симметрий ромба V: {E, SBD, SAC, S0}.

Таблица Кэли:

  E SBD SAC S0
E E SBD SAC S0
SBD SBD E S0 SAC
SAC SAC S0 E SBD
S0 S0 SAC SBD E

4) Для заданного равностороннего треугольника АВС рассмотрим преобразования, отображающие треугольник сам на себя:

1. Е – тождественное преобразование.

2. α – поворот на угол 2π/3 против часовой стрелки.

3. β – поворот на угол 4π/3 против часовой стрелки.

4. S1 – симметрия относительно оси (1) (В Понятие группы. Подгруппы - student2.ru С)

5. S2 – симметрия относительно оси (2) (А Понятие группы. Подгруппы - student2.ru С)

6. S3 – симметрия относительно оси (3) (А Понятие группы. Подгруппы - student2.ru В).

Понятие группы. Подгруппы - student2.ru Закон композиции зададим таблицей Кэли:

II ⊙ I E a b S1 S2 S3
E E a b S1 S2 S3
a a b E S2 S3 S1
b b E a S3 S1 S2
S1 S1 S2 S3 E a b
S2 S2 S3 S1 b E a
S3 S3 S1 S2 a b E

Такой закон композиции ассоциативен, но не коммутативен (например S1⊙S2¹S2⊙S1. Единичный элемент Е – тождественное преобразование, обратные a-1 = b; b-1 = a; Понятие группы. Подгруппы - student2.ru .

Множество преобразований самосовмещения треугольника с таким законом композиции называется группой самосовмещений равностороннего треугольника.

Подмножество {E, a, b} этой группы образует подгруппу группы самосовмещений и называется группой поворотов равностороннего треугольника.

5) Перестановкой назовем закон, по которому элементам a, b, c, d, … взаимно однозначно ставятся в соответствие элементы того же множества, но, возможно, в другом порядке Понятие группы. Подгруппы - student2.ru .

Композиция двух перестановок f1⊙f2 определяется как последовательное применение двух перестановок: сначала f2, а потом f1.

Для конечного множества Е из n – элементов перестановки образуют группу (не абелевую!), которая называется симметричной группой Sn.

В частности:

Группа перестановок трех элементов S3:

Пусть P1= Понятие группы. Подгруппы - student2.ru , P2 = Понятие группы. Подгруппы - student2.ru , P3 = Понятие группы. Подгруппы - student2.ru , P4 = Понятие группы. Подгруппы - student2.ru , P5 = Понятие группы. Подгруппы - student2.ru , P6 = Понятие группы. Подгруппы - student2.ru .

Закон композиции определен таблицей:

  P1 P2 P3 P4 P5 P6
P1 P1 P2 P3 P4 P5 P6
P2 P2 P1 P5 P6 P3 P4
P3 P3 P6 P1 P5 P4 P2
P4 P4 P5 P6 P1 P2 P3
P5 P5 P4 P2 P3 P6 P1
P6 P6 P3 P4 P2 P1 P5

Данная группа имеет три подгруппы по два элемента: {P1, P2}, {P1, P3}, {P1, P4} и одну подгруппу из трех элементов: {P1, P5, P6}.

Группу самосовмещений равностороннего треугольника можно представить как группу перестановок трех элементов:

Понятие группы. Подгруппы - student2.ru Понятие группы. Подгруппы - student2.ru Понятие группы. Подгруппы - student2.ru Понятие группы. Подгруппы - student2.ru Понятие группы. Подгруппы - student2.ru Понятие группы. Подгруппы - student2.ru .

6) Рассмотрим множества, состоящие из двух элементов {0, 1} с операцией: 0⊙0 = 0; 0⊙1 = 1; 1⊙0 = 1; 1⊙1 = 1. Единичный элемент здесь 0.

Эта группа называется группой вычетов по модулю 2 и обозначается Z2.

7) Группа из двух преобразований евклидового пространства: а) тождественное преобразование – 0, б) отражение относительно θ – 1.

От группы Z2 – отличается лишь природой элементов, групповые свойства одинаковы.

Еще определения

1°. Если группа конечная – то количество её элементов называют порядком группы.

2°. Группа G из элементов а0 = е, а, а2, а3, …, аk = е называется циклической группой, порождаемой элементом а. Порядок группы – ½G½= k.

3°. Группа поворотов правильного многоугольника относительно его центра является циклической группой nго порядка. Порождается элементом P2π/n (поворот на угол 2π/n против часовой стрелки). Эта группа обозначается Cn.

4°. Группа целых чисел по сложению также циклическая, ибо порождается одним элементом (0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …, –(1), –(1 + 1), …), Группа обозначается С¥.

5°.ЕслиН1 и Н2 помножества группы G, то Н Понятие группы. Подгруппы - student2.ru {h ½ h=h1+h2, h1 Понятие группы. Подгруппы - student2.ru G1 , h2 Понятие группы. Подгруппы - student2.ru G2} называется суммой двух подмножеств группы G и обозначается G1 + G2 . Если, при этом, представление h=h1+h2 единственно, то сумма подмножеств называется прямой суммой и обозначается Н1 Å Н2 . Отметим что, сумма двух подгрупп группы подгруппой, вообще говоря, не является. ( Попробуйте привести пример )

6°. Т°.G=G1ÅG2Å…ÅGk Û (G1,g2,…Gi-1)ÇGi={q}, "i£k.

Для того чтобы группу G можно было представить в виде прямой суммы подгрупп G1,G2,…,Gk необходимо и достаточно, чтобы подгруппы не имели других общих элементов, кроме нейтрального.

Т°.Пусть½G½= nи n=k×l.НОД(k, l) = 1. Тогда $Gk,Gl Ì G, ½Gk½=k, ½Gl½=l : G=GkÅGl (для абелевых циклических групп).

7°.Если для циклической группы G порядок группы ½G½=pn (n>1), где p – простое число, то группа называется примарной.

Т°.Примарная группа не может быть разложена в прямую сумму нетривиальных подгрупп.

8°. Т°(Лагранжа).Если G1 - подгруппа конечной группы G то порядок подгруппы G1 является делителем порядка группы G.

Наши рекомендации