Понятие группы. Подгруппы
Множество G элементов x, y, z, … произвольной природы называется группой, если в нем корректно введена внутренняя операция (закон композиции) т.е. "х, yÎG, $zÎG такое, что z = x⊕y или (z = x⊙y), удовлетворяющее условиям:
1) x⊕(y⊕z) = (x⊕y)⊕z ассоциативность 1) x⊙(y⊙z) = (x⊙y)⊙z;
2) $qÎG½"xÎG x⊕q = x нейтральный элемент 2) $еÎG½"xÎG x⊙е = x;
3) обратный элемент 3) .
Если введенная операция еще и коммутативная, т.е. x⊕y = y⊕x или (x⊙y = y⊙x), то группа называется абелевой.
Подмножество элементов G1 группы G называется подгруппой, если:
1) "х, уÎG1 ® x⊙yÎG1; 2) "хÎG1 ® x-1ÎG1.
(Здесь применена мультипликативная форма записи)
Подгруппа G1 группы G сама по себе является группой. Простейшими (тривиальными) подгруппами любой группы является сама группа и группа, состоящая из одного элемента – нейтрального.
Примеры групп
1) Аддитивные группы: {0}, Q, R, C, множество Zk целых чисел, кратных целому заданному k.
2) Мультипликативные: {1}, {1, –1}, {1, i, –1, –i}, множество {zÎC½||z|| = 1}, P+ – множество вещественных положительных чисел, Q\{0}, R\{0}, C\{0}.
3) Группа симметрий ромба V: {E, SBD, SAC, S0}.
Таблица Кэли:
E | SBD | SAC | S0 | |
E | E | SBD | SAC | S0 |
SBD | SBD | E | S0 | SAC |
SAC | SAC | S0 | E | SBD |
S0 | S0 | SAC | SBD | E |
4) Для заданного равностороннего треугольника АВС рассмотрим преобразования, отображающие треугольник сам на себя:
1. Е – тождественное преобразование.
2. α – поворот на угол 2π/3 против часовой стрелки.
3. β – поворот на угол 4π/3 против часовой стрелки.
4. S1 – симметрия относительно оси (1) (В С)
5. S2 – симметрия относительно оси (2) (А С)
6. S3 – симметрия относительно оси (3) (А В).
Закон композиции зададим таблицей Кэли:
II ⊙ I | E | a | b | S1 | S2 | S3 |
E | E | a | b | S1 | S2 | S3 |
a | a | b | E | S2 | S3 | S1 |
b | b | E | a | S3 | S1 | S2 |
S1 | S1 | S2 | S3 | E | a | b |
S2 | S2 | S3 | S1 | b | E | a |
S3 | S3 | S1 | S2 | a | b | E |
Такой закон композиции ассоциативен, но не коммутативен (например S1⊙S2¹S2⊙S1. Единичный элемент Е – тождественное преобразование, обратные a-1 = b; b-1 = a; .
Множество преобразований самосовмещения треугольника с таким законом композиции называется группой самосовмещений равностороннего треугольника.
Подмножество {E, a, b} этой группы образует подгруппу группы самосовмещений и называется группой поворотов равностороннего треугольника.
5) Перестановкой назовем закон, по которому элементам a, b, c, d, … взаимно однозначно ставятся в соответствие элементы того же множества, но, возможно, в другом порядке .
Композиция двух перестановок f1⊙f2 определяется как последовательное применение двух перестановок: сначала f2, а потом f1.
Для конечного множества Е из n – элементов перестановки образуют группу (не абелевую!), которая называется симметричной группой Sn.
В частности:
Группа перестановок трех элементов S3:
Пусть P1= , P2 = , P3 = , P4 = , P5 = , P6 = .
Закон композиции определен таблицей:
P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | P6 | |
P1 | P1 | P2 | P3 | P4 | P5 | P6 |
P2 | P2 | P1 | P5 | P6 | P3 | P4 |
P3 | P3 | P6 | P1 | P5 | P4 | P2 |
P4 | P4 | P5 | P6 | P1 | P2 | P3 |
P5 | P5 | P4 | P2 | P3 | P6 | P1 |
P6 | P6 | P3 | P4 | P2 | P1 | P5 |
Данная группа имеет три подгруппы по два элемента: {P1, P2}, {P1, P3}, {P1, P4} и одну подгруппу из трех элементов: {P1, P5, P6}.
Группу самосовмещений равностороннего треугольника можно представить как группу перестановок трех элементов:
.
6) Рассмотрим множества, состоящие из двух элементов {0, 1} с операцией: 0⊙0 = 0; 0⊙1 = 1; 1⊙0 = 1; 1⊙1 = 1. Единичный элемент здесь 0.
Эта группа называется группой вычетов по модулю 2 и обозначается Z2.
7) Группа из двух преобразований евклидового пространства: а) тождественное преобразование – 0, б) отражение относительно θ – 1.
От группы Z2 – отличается лишь природой элементов, групповые свойства одинаковы.
Еще определения
1°. Если группа конечная – то количество её элементов называют порядком группы.
2°. Группа G из элементов а0 = е, а, а2, а3, …, аk = е называется циклической группой, порождаемой элементом а. Порядок группы – ½G½= k.
3°. Группа поворотов правильного многоугольника относительно его центра является циклической группой nго порядка. Порождается элементом P2π/n (поворот на угол 2π/n против часовой стрелки). Эта группа обозначается Cn.
4°. Группа целых чисел по сложению также циклическая, ибо порождается одним элементом (0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …, –(1), –(1 + 1), …), Группа обозначается С¥.
5°.ЕслиН1 и Н2 помножества группы G, то Н {h ½ h=h1+h2, h1 G1 , h2 G2} называется суммой двух подмножеств группы G и обозначается G1 + G2 . Если, при этом, представление h=h1+h2 единственно, то сумма подмножеств называется прямой суммой и обозначается Н1 Å Н2 . Отметим что, сумма двух подгрупп группы подгруппой, вообще говоря, не является. ( Попробуйте привести пример )
6°. Т°.G=G1ÅG2Å…ÅGk Û (G1,g2,…Gi-1)ÇGi={q}, "i£k.
Для того чтобы группу G можно было представить в виде прямой суммы подгрупп G1,G2,…,Gk необходимо и достаточно, чтобы подгруппы не имели других общих элементов, кроме нейтрального.
Т°.Пусть½G½= nи n=k×l.НОД(k, l) = 1. Тогда $Gk,Gl Ì G, ½Gk½=k, ½Gl½=l : G=GkÅGl (для абелевых циклических групп).
7°.Если для циклической группы G порядок группы ½G½=pn (n>1), где p – простое число, то группа называется примарной.
Т°.Примарная группа не может быть разложена в прямую сумму нетривиальных подгрупп.
8°. Т°(Лагранжа).Если G1 - подгруппа конечной группы G то порядок подгруппы G1 является делителем порядка группы G.