Экзаменационные задачи

ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА". Часть II

1. Найти матрицу A^* оператора сопряженного к линейному оператору A по заданной матрице оператора A и матрице Грамма Г:

а) : ; б) : .

2. Найти матрицу A^* оператора сопряженного к линейному оператору A по заданной матрице оператора A и скалярному произведению:

а) , ;

б) , ;

в) , .

3. Оператор переводит векторы a₁, a₂, в векторы b₁, b₂, соответственно. Найти оператор A^*, если базис в котором заданы , - ортонормирован:

а) ; ;

б) ; .

4. Оператор задан матрицей в базисе f₁, f₂, где f₁ = e₁ + e₂, f₂ = e₁ – ie₂. Найти A^* в том же базисе.

5. Оператор задан матрицей в базисе , где . Найти в том же базисе.

6. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением (здесь и коэффициенты полиномов p и q при ) задан оператор . Найти в следующих базисах:

а) ; б) .

7. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением задан оператор . Найти в следующих базисах: а) ; б) .

8. Пусть в унитарном пространстве дифференцируемых и периодичных с периодом функций, скалярное произведение имеет вид: . Доказать, что оператор - эрмитов.

9. Установить является ли оператор самосопряженным, если оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма :

а) ; б) ;

в) .

10. Оператор задан матрицей в базисе с матрицей Грамма . Будет ли оператор - эрмитовым?

11. Установить, является ли ортогональным оператор , действующий на векторы ортонормированного базиса по формулам:

а) ; б) .

12. Установить, является ли оператор унитарным, если действует на векторы ортонормированного базиса по формулам:

.

13. Установить, является ли ортогональным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе матрицей:

.

14. Установить, является ли ортогональным оператор , если он задан матрицей в базисе , а векторы выражаются через векторы ортонормированного базиса :

а) ;

б) ;

в) .

15. Построить собственный ортонормированный базис самосопряженного оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:

а) ; б) .

16. Построить собственный ортонормированный базис эрмитового оператора, который, в некотором ортонормированном базисе, задан матрицей:

а) ; б) ; в) .

17. Построить собственный ортонормированный базис унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

а) ; б) ; в) .

18. Привести матрицу к диагональному виду.

19. Найти:

а) , ; б) , ; в) , ;

г) , ; д) , ; е) , .

20. Установить, являются ли следующие квадратичные формы положительно определенными:

а) ;

б) .

21. Установить, при каких следующие квадратичные формы являются положительно определенными:

а) ;

б) .

22. Найти ортонормированный базис, в котором следующие квадратичные формы (заданные тоже в ортонормированном базисе) имеют диагональный вид:

а) ;

б) .

23. Привести следующие квадратичные формы к нормальному виду:

а) ;

б) ;

в) .

24. С помощью одного преобразования привести пару форм к каноническому виду:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

25. Найти базис, взаимный к данному:

а) ;

б) .

26. Вектор задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы координаты векторов двух взаимных базисов: и . Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора .

27. Доказать инвариантность свойства антисимметрии тензора второго ранга .

28. Используя тензорную форму записи проверить тождества:

а) ;

б) .

29. Используя тензорную форму записи, вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

(здесь - постоянные векторы, - радиус вектор).

30. Используя тензорную форму записи, доказать тождества:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

(здесь - векторные поля, - скалярное поле).

31. Вычислить (используя интегральные теоремы тензорного исчисления) , где - постоянные векторы, - орт нормали к поверхности , которая ограничивает объем .

32. Найти результат действия перестановок:

а) ; б) ;

в) ; г) .

32. Возвести перестановки в степень:

а) ; б) ;

в) ; г) .

33. Найти перестановку, обратную перестановке: .

34. Найти .

35. Найти:

а) ; б)

36. Если группа перестановок чисел, то найти все подгруппы .

37. Построить смежные классы к в , где и - группы корней 3^-й и 6^-й степени из 1, соответственно.

38. Построить смежные классы к в , где и - группы корней 4^-й и 8^-й степени из 1, соответственно.

39. Доказать, что - нормальный делитель группы , где и - группы корней 3^-й и 6^-й степени из 1, соответственно.

40. Доказать, что - нормальный делитель группы , где и - группы корней 4^-й и 8^-й степени из 1, соответственно.

41. Найти все гомоморфизмы в , где группа корней n^-й степени из 1.

42. Найти фактор-группу , если:

а) - группа целых чисел, - подгруппа чисел, кратных заданному целому

числу ;

б) - группа всех вещественных чисел по сложению, - подгруппа целых

чисел;

в) - группа всех комплексных чисел по сложению, - группа веществен-

ных чисел тоже по сложению;

г) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению, - группа

положительных вещественных чисел по умножению;

д) - группа ненулевых комплексных чисел по умножению, - подгруппа

чисел по модулю равных 1.

43. Найти нормальную жорданову форму матрицы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .