Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми
Векторное уравнение прямой.
Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.
Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M0 через r и r0.
Тогда уравнение прямой запишется в виде:
где t – скалярный множитель (параметр).
Параметрические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой.
S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0) – точка на прямой. соединяет M0 с произвольной точкой М.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2)
В качестве направляющего вектора можно задать вектор
Следовательно:
, тогда
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:
Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как векторное произведение:
Угол между прямыми.
;
Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.
Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором , перпендикулярной этой плоскости.
Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор . При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому .
Общее уравнение плоскости.
· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)
· Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.
· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.
· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.
· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3)
Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).
Составим векторы:
Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:
Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:
; ;
Нормальное уравнение плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.
Прямая L:
Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.
Тогда θ – угол между и .
Найдем , если
, т.к.
Расстояние от точки до плоскости.
Дано:
M0 (x0;y0;z0)
Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М1(x1;y1;z1) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора
!!!Если плоскость задана уравнением:
то расстояние до плоскости находится по формуле: