Применения скалярного произведения

ВЕКТОРЫ

Вектор - направленный отрезок. = - длина вектора. Если =1, то - единичный вектор.

Коллинеарными ( )называют векторы, расположенные на параллельных (в частности, на одной) прямых, а компланарными– векторы, расположенные в параллельных (в частности, в одной) плоскостях.

(коллинеарны и одинаково направлены - сонаправлены) и .

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, перемещая начало в любую другую точку на плоскости или в пространстве. Такие векторы называются свободными.

Линейные операции над геометрическими векторами

Сумма	Правило треугольника Правило параллелограмма Разность
Умножение на число: . 1. 2.	; ; ; .

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис

Вектор , где – произвольные действительные числа, называется линейной комбинацией векторов .

Система векторов линейно зависима, если, по крайней мере, один из них является линейной комбинацией остальных. В противном случае линейно независимы. Например, если , то векторы линейно зависимы.

Любые линейно независимых векторов пространства называют базисом этого пространства. Если эти векторы единичные и попарно перпендикулярные, то базис называется ортонормированным.

Базис на плоскости (в ) образуют любые два неколлинеарные вектора и	Ортонормированный базис в - три попарно перпендикулярных единичных вектора : Разложение вектора по базису , , , – координаты вектора. Обозначение:
Базис в пространстве (в ) образуют любые три некомпланарных вектора

Проекция вектора на ось	Прямоугольная декартова система координат (ПДСК)
пр	пр пр пр пр пр	, – абсцисса, – ордината, – аппликата.

ВПДСК: пр пр пр где – углы, которые составляет вектор с координатными осями соответственно; называются направляющими косинусами вектора : .

единичный вектор, сонаправленный с вектором ,– орт вектора

(нормированный вектор).

Если даны точки А и В , то
координаты вектора	координаты середины М отрезка АВ	длина отрезка АВ (модуль вектора )

Если векторы заданы координатами и , то
модуль вектора	Линейные операции	Равенство векторов	Коллинеарность

Скалярное произведение двух векторов (обозначение: или )

По определению	В проекцииях	В координатах	Свойства
Число, равное =	= пр = пр	=	1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Применения скалярного произведения

Модуль вектора	Угол между векторами	Условие ортогональности	Вычисление проекций	Вычисление работы силы
	= =

Полярные координаты точки : радиус-вектор точки М, полярный радиус, полярный угол,

Пример: Найти полярные координаты точки , если ее декартовы координаты .

Решение. ,