Нормальное преобразование и его свойства

Преобразование называется нормальным, если оно перестановочно с сопряженным преобразованием, то есть .

Свойство 8.4. Если x собственный вектор нормального преобразования с собственным значением , то x собственный вектор с собственным значением .

Доказательство. Пусть . Поскольку и , то .

Свойство 8.5. Собственные векторы нормального преобразования, соответствующие разным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Пусть x и y – собственные векторы нормального преобразования , соответствующие разным собственным значениям и ( , ). Из равенств и (Свойство 8.4) выводим , , , . Далее, , откуда .

Теорема 8.1. Для нормального преобразования конечномерного унитарного пространства существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство. Путь - ортонормированный базис унитарного пространства V, в котором матрица нормального преобразования является верхней треугольной. Пусть , тогда . Из равенства вытекает, что матрица A – диагональная, и, значит, базис составлен из собственных векторов.

Построение ортонормированного базиса из собственных векторов, в котором матрица нормального преобразования диагонализируема, можно осуществлять следующим образом. Найти какой ни будь базис из собственных векторов. При этом, собственные векторы, соответствующие разным собственным числам заведомо ортогональны (Свойство 8.5). Условие ортогональности может нарушаться только на собственных векторах, соответствующих одному и тому же собственному значению.

Если матрица линейного преобразования диагонализируема, то всегда можно ввести скалярное произведение таким образом, чтобы линейное преобразование стало нормальным.

Теорема 8.2. Для нормального преобразования конечномерного евклидова пространства существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно-диагональный вид. По главной диагонали расположены блоки первого и второго порядка.

Доказательство. Путь - ортонормированный базис евклидова пространства V, в котором матрица нормального преобразования является блочной верхней треугольной. Пусть , тогда . Из равенства вытекает, что матрица A – блочно диагональная, что и требовалось доказать.

К сожалению, приведенное доказательство не раскрывает структуру блоков второго порядка, расположенных на главной диагонали. Поэтому дадим другое доказательство этой теоремы.

Доказательство 2. Множество является линейным пространством над полем комплексных чисел C. В этом линейном пространстве введем скалярное произведение . Определим линейное преобразование пространства как . Пусть - ортонормированный базис , тогда - ортонормированный базис унитарного пространства и - матрица с вещественными элементами. Далее, , и из равенства матриц выводим равенство , то есть преобразование - нормальное. Следовательно, существует ортонормированный базис унитарного пространства из собственных векторов нормального преобразования . Пусть - собственные числа этих векторов. Заметим, что ортонормированный базис получается объединением ортонормированных базисов подпространств . Если собственное число вещественное, то ортонормированный базис подпространства является также ортонормированным базисом подпространства . Поэтому, не нарушая общности можно считать, что вещественным собственным числам в базисе соответствуют векторы из V. Пусть f=x+iy – собственный вектор с комплексным собственным числом , тогда из равенств и выводим , , то есть линейное подпространство, натянутое на векторы x,y – инвариантно. Из полученных равенств вытекает , то есть вектор x-iy – собственный с собственным числом . Если ортонормированный базис , то - ортонормированный базис , поэтому, можно считать, что в базисе собственные векторы с комплексными собственными числами разбиты на пары. Рассмотрим пару , собственных векторов с собственными числами и . Эти векторы ортогональны всем остальным векторам из базиса, следовательно, векторы ортогональны всем остальным векторам. Далее, , откуда выводим и . Заменим векторы и на получим ортонормированный базис пространства V, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. По главной диагонали расположены блоки первого порядка, отвечающие вещественным собственным значениям, и блоки второго порядка , отвечающие комплексным собственным значениям.

Если матрица линейного преобразования диагонализируема, то всегда можно ввести скалярное произведение таким образом, чтобы линейное преобразование стало нормальным.