З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.Для неколлинеарных векторов З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru построить векторы:

1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru .

2. Даны векторы З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru . Найти следующие векторы:

1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru .

3. Даны векторы З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru . Найти следующие векторы:

1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru .

4.При каких значениях З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru и З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru векторы З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru и З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru коллинеарные, если:

1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ;

3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru .

5. Найти медиану З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru треугольника З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru , если:

1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ;

3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

6. В параллелограмме З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru точка З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru лежит на стороне З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru и З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru точка З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru лежит на стороне З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru и З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru .

Разложить векторы З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru и З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru по векторам З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru :

1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

7. Разложить вектор З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru по векторам З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru и З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru , если:

1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ;

3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru .

Ответы:

2. 1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ;

3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

3.1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru .

4.1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

5. 1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

6.1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ;

3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

7.1) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 2) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 3) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru ; 4) З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

Тема 2. Векторные пространства

Линейные (векторные) пространства

Складывать и умножать на числа можно не только геометрические векторы. Существуют множества объектов самой разной природы, для элементов которых также определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на число, при этом указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами.

Определение. Множество Lназывается линейным (векторным) пространством, если в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число (линейные операции), удовлетворяющие аксиомам линейного пространства, т.е. равенствам L1. – L8.

Линейные пространства обладают целым рядом общих свойств, которые будут изучены в данном курсе.

Множества V1, V2, V3 геометрических векторов на прямой, плоскости и в пространстве соответственно, являются примерами линейных пространств.

2.2. Координатное З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru -мерное пространство З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru

Выше было показано, что каждый геометрический вектор на плоскости задается двумя, а в пространстве тремя координатами, т.е. упорядоченным набором двух или трех действительных чисел. Важный пример линейного пространства дает многомерное векторное пространство, которое является естественным обобщением пространств геометрических векторов.

Рассмотрим множество упорядоченных наборов З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru чисел З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru .

Набор З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru называется арифметическим вектором, а числа З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru – его координатами. Арифметические векторы З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru и З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. Линейные операции над арифметическими векторами вводятся покоординатно, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число.

Определение. Множество З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru арифметических векторов с введенными выше линейными операциями называется З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru - мерным арифметическимили координатнымвекторным пространством.

Пространства З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я - student2.ru , наряду с пространствами геометрических векторов, являются основными объектами изучения в данном курсе.

Наши рекомендации