Исследование кривых второго порядка по их каноническим уравнениям

Эллипс

Напомним, что эллипсом мы называем геометрическое место точек, которое в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида , (a ³ b > 0) (*).

Замечание.Ясно, что если параметры a и b равны, то уравнение (то есть ) задает окружность радиуса a с центром в начале координат, так что окружность - это частный случай эллипса.

1) Для координат точек эллипса имеют место неравенства | x| £ a и | y | £ b , то есть эллипс расположен в прямоугольнике:

2) Эллипс симметричен относительно осей коорди­нат и начала координат, так как если точка М (х, у)принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки М₁(-х, у), М₂ (х, -у) и М₃ (-х, -у).

3) Легко видеть, что точки А₁{-a, 0), А₂ (а, 0), В₁ (0, -b), В₂ (0, b)лежат на эллипсе. Они называются вершинами эл­липса.

4) Форму эллипса достаточно исследовать в первой четверти, т. е. для х ³ 0, у ³ 0.

Выразим y в уравнении эллипса через x (это возможно при ограничении y ³ 0):

(**)

РИС. 42

Гипербола

Напомним, что гиперболой мы называем геометрическое место точек, которое в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида , (a > 0, b > 0).

1) Для координат точек гиперболы имеет место неравенство | x | ³ a, то есть гипербола расположена вне полосы | x | < a

2) Гипербола симметрична относительно осей коорди­нат и начала координат, так как если точка М (х, у)принадлежит гиперболе, то ей принадлежат и точки М₁(-х, у), М₂ (х, -у) и М₃ (-х, -у).

3) Легко видеть, что точки А₁{-a, 0), А₂ (а, 0) лежат на гиперболе. Они называются вершинами гиперболы.

4) Форму гиперболы достаточно исследовать в первой четверти, т. е. для х ³ 0, у ³ 0.

Выразим y в уравнении гиперболы через x (при ограничении y ³ 0):

(***)

РИС. 43

5) При достаточно больших значениях x значения функций и отличаются мало, и чем больше значение x, тем меньше разность значений этих функций.

Так что при x ® + ¥ ® 0, то есть расстояние между гиперболой и прямой при x ® + ¥ стремиться к нулю, поэтому прямая является асимптотой гиперболы.

Заметим, что < (при x ³ 0) поэтому часть гиперболы, которая расположена в первой четверти, лежит ниже прямой .

С учетом симметрии (см. п. 2) асимптотами гиперболы являются прямые и , и гипербола расположена в двух областях между этими прямыми:

- £ y £ .

Геометрическое определение кривых второго порядка

Теорема. Эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая чем расстояние между данными точками.

РИС. 44

Доказательство.

Пусть F₁ и F₂ – две данные точки (фокусы), расстояние между ними |F₁F₂| = 2c, а фиксированная величина, о которой речь идет в теореме (сумма расстояний ….) равна 2a. По условию 0 £ c < a.

Введем декартову систему координат, так что координаты точек были бы следующими F₁(-c,0) и F₂ (c,0) (точки F₁ и F₂ лежат на оси (Ox), начало координат - середина отрезка F₁F₂).

1) Докажем, что существует эллипс, которому принадлежит любая точка, сумма расстояний от которой до двух данных точек есть величина постоянная, большая чем расстояние между данными точками.

Пусть точка M (x,y) такая, что |M F₁| + |MF₂| = 2a. (Ясно, что |M F₁| < 2a, |MF₂| < 2a)

Запишем последнее равенство в координатах:

+ = 2a

= 2a - (*)

Возведем уравнение (*) в квадрат (так как |MF₁| < 2a, то 2a - > 0)

(x - c)² + y² = 4a² – 4a + (x + c)² + y²

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

4a = 4a² + 4xc

Разделим равенство на 4 и возведем в квадрат:

a²( (x - c)² + y²) = a⁴ – 2a²cx + x²c²

Раскроем скобки; соберем в одной части равенства слагаемы с буквами x и y, в другой части равенства – слагаемы без x, y; приведем подобные слагаемые:

(a² – c²) x² + a² y² = a²(a² – c²)

Так как по условию a > c, то существует такое положительное число b, что a² – c² = b². (Заметим, что b £ a)

Итак, b² x² + a² y² = a² b²

Разделим равенство на a²b²:

.

Итак, мы доказали, что точка M принадлежит эллипсу, который в данной системе координат задается уравнением , где b² = a² – c².

2) Докажем, что сумма расстояний от любой точки эллипса (заданного уравнением ) до точек F₁(-c, 0) и F₂(c, 0) величина постоянная равная 2a.

Пусть точка M(x, y) такова, что (при этом a² = c² + b²), то есть y² = b² .

Тогда |MF₁| = = =

= = =

= = = =

{ | x | £ a, c < a Þ | cx | £ a²} = = .

Аналогично найдем расстояние |MF₂|:

|MF₂| = = = =

= = {a² ³ cx} = = .

Итак, |MF₁| + |MF₂| = 2a.

Итак, если эллипс задан каноническим уравнением (0 < a £ b), то фокусы этого эллипса будут иметь следующие координаты: F₁(-c,0) и F₂ (c,0), где с ³ 0 и

с² = a² - b²

Теорема. Гипербола – это множество точек, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между данными точками.

Доказательство.

Пусть F₁ и F₂ - две данные точки (фокусы), |F₁F₂| = 2с, и постоянная величина, о которой идет речь в теореме, равна 2a. По условию a < c.

Введем декартову систему координат такую, что координат фокусов будут следующими: F₁(-c, 0) и F₂ (c, 0).

РИС. 46 (1,2)

1) Докажем, что существует гипербола, которой принадлежит любая точка, модуль разности расстояний от которой до точек F₁ и F₂ равна 2a, лежит на некоторой гиперболе.

Пусть точа M(x,y) такова, что | |MF₁| - |MF₂| | = 2a.

Запишем последнее равенство в координатах и снимем знак модуля:

- = ± 2a

= ± 2a

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(x + c)² + y² = (x - c)² + y² ± 4a + 4a²

Раскроем скобки; приведем подобные слагаемые; уединим радикал в одной части равенства:

4cx - 4a² = ± 4a

Разделим обе части равенства на 4 и возведем обе части равенства в квадрат:

c²x² - 2a²cx + a⁴ = a²x² - 2 a²cx + c² + a²y²

(c² - a²)x² - a²y² = a²(c² - a²)

Так как c > a, то существует положительное число b такое, что b² = c² - a².

Итак, b²x² - a²y² = a²b²

Разделим равенство на a²b²: .

Итак, мы доказали, что любая точка M такая, что | |MF₁| - |MF₂| | = 2a принадлежит гиперболе, заданной каноническим уравнением .

2) Докажем теперь, что любая точка гиперболы, задаваемой уравнением , такова, что | |MF₁| - |MF₂| | = 2a.

Пусть точка M(x, y) такова, что (при этом c² = a² + b²), то есть

y² = b² .

Тогда |MF₁| = = =

= = =

= = = .

Аналогично найдем расстояние |MF₂|:

|MF₂| = = = = .

Так как | x | ³ a, достаточно рассмотреть два случая : x £ - a и x ³ a.

1 случай. x £ -a.

Так как c > a, то cx £ -ca £ - a² и < 0, поэтому |MF₁| = = .

Так как x < -a < a, то < 0, поэтому |MF₂| =

Итак, |MF₁| - |MF₂| = - 2a.

2 случай. x ³ a.

Аналогично первому случаю снимем модули в выражениях для расстояний |MF₁| и |MF₂|:

|MF₁| = , |MF₂| = и |MF₁| - |MF₂| = 2a.

Итак, если гипербола задана каноническим уравнением , то фокусы этой гиперболы будут иметь следующие координаты: F₁(-c,0) и F₂ (c,0), где с ³ 0 и

с² = a² + b²

Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) будем назвать число

e = .

Определение. Директрисами эллипса (гиперболы) называются прямые, которые в том случае, когда эллипс (гипербола) описаны каноническим уравнением, задаются уравнениями x = и x = .

Замечание. Уравнения директрис эллипса или гиперболы можно записать и иначе: x = .

Определение. Фокус эллипса (гиперболы) и ближайшую к нему директрису будем назвать соответствующими друг другу.

Так фокусу F₁(-c,0) соответствует директриса x = , фокусу F₂ (c,0) соответствует директриса x = .

Теорема. Парабола – это множество точек, равноудаленных от данной прямой (называемой директрисой) и данной точки (называемой фокусом), не принадлежащей данной прямой.

Доказательство.

Пусть F – это данная точка, d – данная прямая, 2p – расстояние между точкой F и прямой d (p > 0).

Введем декартову систему координат такую, что координаты точки F будут следующие: F (0, c), а прямая d задается уравнением y = - p (ось (Ox) параллельна прямой d, начало координат – это середина перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую d)

1) Докажем, что существует парабола, которой принадлежат все точки, равноудаленные от точки F и прямой d.

Пусть точка M(x, y) такова, что |MF| = r (M, d). Запишем последнее равенство в координатах:

= | y + p|

Возведем обе части равенства в квадрат:

(x - p)² + y² = (y + p)²

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x² = 2py (**)

y = - каноническое уравнение параболы (существует такое положительное число a, что 2р = a²)

Итак, мы доказали, что точка M принадлежит параболе, которая задается в данной системе координат уравнением y = .

2) Докажем, что любая точка параболы, заданной уравнением y = , равноудалена от точки F и прямой d.

(Доказательство провести самостоятельно)

Замечания.

1) Ясно, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, эксцентриситет гиперболы больше единицы.

2) Чем ближе эксцентриситет эллипса к нулю, тем меньше разность a² - b², то есть тем больше эллипс по форме напоминает окружность. И чем ближе эксцентриситет эллипса к единице, тем больше разность a² - b², тем более "вытянутую форму" имеет эллипс.

3) Директриса кривой второго порядка не пересекает эту кривую. Действительно, если речь идет о параболе, то это утверждение очевидно; если речь идет об эллипсе, то а > c и > a, а для всех точек эллипса | x | £ a; если речь идет о гиперболе, то a< c и < a, а для всех точек гиперболы | x | ³ a.

Теорема.Эллипс (гипербола, парабола) – это множество точек, отношение расстояний от которых до фокуса к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы величина постоянная и равная эксцентриситету эллипса (гиперболы, параболы).

Доказательство.

i) Для параболы данная теорема является переформулировкой предыдущей.

Введем декартову систему координат такую, что эллипс (гипербола) будут заданы каноническими уравнениями . В этом случае фокусами будут точки F₁(-c,0) и F₂ (c,0), уравнения директрис - x = и x = , эксцентриситет e = (где в случае эллипса c² = a² - b², в случае гиперболы c² = a² + b² ).

Докажем теорему для соответствующих друг другу фокуса F₁(-c,0) и директрисы x = . (Для другой пары соответствующих друг другу фокуса и директрисы доказательство аналогично, рекомендуется его проделать самостоятельно)

ii) Докажем данную теорему для эллипса.

1) Пусть точка M (x, y) принадлежит эллипсу.

Расстояние d от нее до директрисы будет равно

d = = = .

Расстояние от точки M до фокуса MF₁ будет равно |MF₁| = = | ex + a |.

Итак, отношение расстояний .

2) Пусть точка M (x, y) такова, что , где d - расстояние от точки M до директрисы.

d = = ; |MF₁| = ,

То есть = a + ex

Заменим e на отношение , и возведем равенство в квадрат:

(x + c)² + y² = a² + 2cx + x²

Умножим равенство на a², раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(a² - c²)x² + a²y² = a²(a² - c²)

Заменим a² - c² на b² и разделим обе части равенства на a²b²:

.

Итак, мы доказали, что точки M принадлежит эллипсу, заданному каноническим уравнением .

iii) Докажем данную теорему для гиперболы.

1) Пусть точка M (x, y) принадлежит гиперболе.

Расстояние d от точки M до директрисы будет равно = = .

Расстояние от точки M до фокуса MF₁ равно |MF₁| = = | ex + a |

Итак, отношение расстояний .

2) Пусть точка M (x, y) такова, что , где d - расстояние от точки M до директрисы.

d = = ; |MF₁| = ,

То есть = a + ex

Заменим e на отношение , и возведем равенство в квадрат:

(x + c)² + y² = a² + 2cx + x²

Умножим равенство на a², раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(c² - a²)x² - a²y² = a²(c² - a²)

Заменим c² - a² на b² и разделим обе части равенства на a²b²:

.

Итак, мы доказали, что точки M принадлежит гиперболе, заданной каноническим уравнением .

Замечание.Как видно из формулировки теоремы, эксцентриситетом параболы удобно считать единицу.

Замечание.Данную теорему, можно было бы сформулировать и иначе: " Множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки к расстоянию до данной прямой, не проходящей через данную точку, есть величина постоянная (называемая эксцентриситетом), - это кривая второго порядка:

- эллипс, если эксцентриситет меньше единицы,

- парабола, если эксцентриситет равен единице,

- гипербола, если эксцентриситет больше единицы.