Замирания сигналов как случайный процесс

Для передачи сообщений система связи использует радиосигналы длительности Т_s, которые называются также импульсами. Если сигнал проходит через многолучевой канал, то на вход приемной антенны поступает большое число переотраженных импульсов, сдвинутых по времени относительно друг друга из-за различных задержек в канале. Это явление называется интерсимвольной интерференцией. Будем предполагать, что временная дисперсия сигнала в канале много меньше длительности Т_s импульса, так что можно пренебречь явлением интерсимвольной интерференции. Пусть также канал является частотно неселективным и все частотные компоненты сигнала испытывают одинаковые замирания. Сделанные предположения дают нам возможность рассматривать передаваемый сигнал, как гармонический сигнал единичной амплитуды. Это конечно идеализация, поскольку такой сигнал имеет бесконечную длительность и нулевую ширину спектра. Тем не менее, этого достаточно, чтобы найти основные статистические характеристики сигнала в точке приема.

Коэффициент передачи канала для гармонического сигнала определяется передаточной функцией (2.3.5). Следовательно, сигнал на входе приемной антенны можно записать в виде

(2.3.24)

Этот сигнал представляет собой сумму гармонических сигналов со случайными амплитудами и фазами. Он также является гармоническим, имеет случайными амплитуду и фазу и может быть записан в виде

. (2.3.25)

В соответствии с центральной предельной теоремой распределение вероятностей суммы статистически независимых случайных величин должно стремиться к нормальному распределению, когда число слагаемых увеличивается. Покажем, следуя [39], что для нормализации сигнала (2.3.24) достаточно 5-6 слагаемых.

Для упрощения задачи рассмотрим сумму гармонических сигналов (2.3.24) с одинаковыми амплитудами, но со случайными фазами, равномерно распределеннми в интервале [0-2p]. Значения сигнала s в различных реализациях функции s(t) будем рассматривать в некоторый фиксированный момент времени t. Нас будет интересовать плотность вероятности случайной величины s.

Для решения задачи удобно использовать характеристическую функцию величины s, которая вводится как Фурье-преобразование от плотности вероятности , то есть

. (2.3.26)

Когда сигнал s представляет собой сумму n статистически независимых сигналов, т.е. s=s₁+s₂+¼+s_n, из (2.3.26) следует, что его характеристическая функция равна произведению характеристических функций отдельных слагаемых. Следовательно,

. (2.3.27)

В нашем случае все слагаемые имеют одну и ту же плотность вероятности . Следовательно, все слагаемые имеют одинаковую характеристическую функцию . Из (2.3.27) находим, что

. (2.3.28)

Можно проверить с помощью (2.3.26), что в случае нормального распределения, когда функция имеет вид (1.2.7) с дисперсией , характеристическая функция также имеет вид гауссовской кривой, т.е.

. (2.3.29)

Таким образом, если функция (2.3.28) при увеличении числа n слагаемых стремится к гауссовской кривой (2.3.29), то функция плотности вероятности суммарного сигнала s должна стремиться к нормальному закону (1.2.7).

Теперь наша задача свелась к определению характеристической функции одного гармонического сигнала со случайной фазой, который показан на рис. 2.9, где фаза сигнала обозначена как .

Рис. 2.9. Гармонический сигнал

Сигнал в произвольный момент времени t=t₁ будет случайным, так как начальная фаза y является случайной, заключен в интервале [-A, A] и имеет среднее значение, равное нулю. Вероятность того, что сигнал находится в интервале между s и s+ds равна , где - искомая плотность вероятности. Это событие случается, когда фазовый угол попадает в один из двух интервалов db, показанных на рис. 2.9. Вероятность такого события можно записать, как , где - плотность вероятности фазы. Так как фаза равномерно распределена в интервале [0-2p], то . Теперь можно написать, что

. (2.3.30)

Из этой формулы нетрудно найти плотность вероятности в виде

, (2.3.31)

где взято модульное значение производной , поскольку рассматриваемые случайные события не зависят от знака производной.

Учитывая, что , имеем, что

. (2.3.32)

Подставляя (2.3.32) в (2.3.31), найдем плотность вероятности в виде

. (2.3.33)

График плотность вероятности в случае А=1 показан на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Плотность вероятности гармонического сигнала со случайной фазой

Чтобы найти характеристическую функцию , подставим (2.3.33) в (2.3.26). В результате получим, что

, (2.3.34)

где J₀(x) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Теперь необходимо воспользоваться формулой (2.3.28). При этом учтем, что, увеличивая число переотраженных сигналов, мощность принимаемого сигнала увеличивается пропорционально числу слагаемых. Чтобы сохранить постоянной среднюю мощность принимаемого сигнала, амплитуду отдельного слагаемого надо уменьшать пропорционально . Таким образом, характеристическая функция суммарного сигнала получается в следующем виде:

. (2.3.35)

Графики этой функции при n=1, 2 и 4 представлены на рис. 2.11, на котором также показана характеристическая функция нормально-распределенной случайной величины. Видно, что при n=4 формула (2.3.35) дает функцию, близкую к характеристической функции нормального распределения. Поэтому обычно считается, что достаточно иметь 5-6 слагаемых, чтобы рассматривать суммарный сигнал, как нормальный случайный процесс.

Рис. 2.11. Характеристическая функция суммарного сигнала при n=1,2,4, соответственно. Толстая кривая - характеристическая функция нормального распределения

Полученный результат является справедливым для любого узкополосного сигнала, если выполняются принятые выше условия относительно частотной неселективности канала. Как отмечалось выше, узкополосный сигнал может быть представлен в виде трех форм (см. (1.1.1), (1.1.2) и (1.1.3)). Перепишем (1.1.1) с учетом применяемых обозначений в виде

, (2.3.36)

где циклическая частота .

Амплитуда и фаза являются медленно меняющимися функциями. Величина носит название комплексной амплитуды узкополосного сигнала. Формула (2.3.36) дает разложение узкополосного сигнала на два ортогональных сигнала и , которое называется квадратурным разложением узкополосного сигнала. В иностранной литературе формулу (2.3.36) принято называть (I,Q)-разложением и записывать в виде

, (2.3.37)

где .

Величины I(t) и Q(t) в любой момент времени являются случайными, имеют нулевые средние и дисперсии s² и подчиняются нормальному закону распределения вероятностей, т.е.

. (2.3.38)

В совпадающие моменты времени величины I(t) и Q(t) являются статистически независимыми. Поэтому двумерную плотность вероятности можно записать, как произведение одномерных функций распределения:

. (2.3.39)

Теперь поставим задачу найти статистические свойства амплитуды А и фазы y нормального узкополосного процесса в некоторый фиксированный момент времени. Амплитуды А и фазы y связаны с квадратурными компонентами следующими соотношениями.

. (2.3.40)

Геометрическая интерпретация параметров узкополосного сигнала ясна из рис. 2.12.

Рис. 2.12. Параметры узкополосного сигнала

Вероятность попадания конца вектора А в темный прямоугольник малой площади равна . Поскольку существует однозначная связь (2.3.40) между квадратурными компонентами (I,Q) с одной стороны и амплитудой и фазой (А,y) с другой стороны, то эту же вероятность можно записать в виде , где функция - интересующая нас двумерная плотность вероятности параметров А и y. Эти вероятности равны между собой, а двумерные плотности вероятности связаны между собой через якобиан преобразования координат следующим образом:

. (2.3.41)

Используя (2.3.39) и (2.3.40) и учитывая, что величина якобиана равна А, для интересующей нас двумерной плотности вероятности параметров А и y будем иметь

. (2.3.42)

Для определения одномерной плотности вероятности необходимо двумерную плотность вероятности (2.3.42) проинтегрировать по всем возможным значениям фазы y: В результате получим, что

. (2.3.43)

Распределение амплитуды (2.3.43) называется распределением Релея, а канал связи называют релеевским каналом. Сигнал в таком канале испытывает замирания, так как его амплитуда может принимать малые значения. Релеевское распределение амплитуды (2.3.43) зависит только от одного параметра s и показано на рис. 2.13 для s²=2.

Рис. 2.13. Релеевское распределение амплитуды сигнала

Интегрируя двумерную плотность вероятности (2.3.42) по всем возможным значениям амплитуды, найдем плотности вероятности в виде

. (2.3.44)

Используя замену переменной A²=z, находим

. (2.3.45)

Отсюда следует, что фаза распределена равномерно в интервале [0-2p].

Сопоставляя в (2.3.43) и в (2.3.45) с в (2.3.42), приходим к важному выводу, что

. (2.3.46)

Таким образом, амплитуда и фаза нормального узкополосного процесса являются независимыми случайными процессами в совпадающие моменты времени.

Максимум распределения (2.3.43) находится в точке А=s, что соответствует значению А=1.41 на рис. 2.13. Средняя амплитуда равна

. (2.3.47)

Средняя мощность сигнала делится между квадратурными компонентами поровну. Дисперсия амплитуды характеризует отклонение амплитуды от среднего значения и вычисляется по формуле:

. (2.3.48)

Медианное значение амплитуды показывает границу, ниже и выше которой амплитуда появляется с вероятностью 50%. Медианное значение амплитуды можно вычислить по формуле .

Если мы интересуемся вероятностью, с которой амплитуда А будет меньше заданной величины, то следует пользоваться интегральной функцией распределения. Имеем, что

. (2.3.49)

Допустим, нас интересует вероятность того, что уровень сигнала опустится ниже медианного уровня на 10 дБ и более. Тогда пороговая амплитуды равна 10^-0.5А_med, а вероятность такого события равна » 7%.

Если на вход приемной антенны поступает прямой сигнал и большое количество переотраженных сигналов, то характер замирания сигнала меняется. В этом случае прямой сигнал является детерминированным. Результирующий сигнал представляет собой сумму детерминированного и случайного релеевского сигналов. Геометрическая интерпретация суммирования этих сигналов показана на рис. 2.14, на котором амплитуда и фаза детерминированного сигнала обозначены как А₀ и y₀, а суммарного сигнала - как А и y.

Рис. 2.14. Суммирование прямого и отраженного сигналов

Теперь вместо (2.3.38) для одномерных плотностей вероятностей квадратурных компонент будем иметь

. (2.3.50)

Чтобы получить двумерную плотность вероятности , поступим аналогично рассмотренному выше случаю релеевских замираний. При этом в (2.3.50) сделаем замену: и и учтем якобиан преобразования координат равный А. В результате получим, что

. (2.3.51)

Для определения одномерной плотности вероятности необходимо двумерную плотность вероятности (2.3.51) проинтегрировать по всем возможным значениям фазы y, то есть

. (2.3.52)

После элементарных алгебраических преобразований это выражение принимает следующий вид:

. (2.3.53)

Интеграл в этом выражении сводится к функции Бесселя I₀(x) нулевого порядка от мнимого аргумента путем замены . Также необходимо учесть, что для детерминированного сигнала . Таким образом, искомая плотность вероятности равна

. (2.3.54)

Эта функция обобщает релеевский закон распределения (2.3.43), так как он следует из (2.3.54) в частном случае при А₀=0. Поэтому (2.3.54) носит название обобщенного распределения Релея. Его называют также распределением Райса или Релея-Райса.

На рис. 2.15 показаны несколько кривых распределения Райса для s²=2, которые отличаются уровнем детерминированной компоненты А₀ в результирующем сигнале. Видно, что с увеличением детерминированной компоненты плотность вероятности трансформируется и постепенно переходит от релеевской (А₀=0) к нормальной.

Рис. 2.15. Райсовская плотность вероятности

Такой переход можно подтвердить и математически. Если отношение А₀/σ велико (А₀/σ>>1), то в (2.3.54) функцию Бесселя можно заменить ее асимптотическим разложением [43]

. (2.3.55)

Тогда (2.3.54) преобразуется к виду

. (2.3.56)

Отсюда видно, что если множитель близок к единице, распределение (2.3.56) близко к нормальному с параметрами А₀ и σ.

Когда отношение А₀/σ мало (А₀/σ<<1), то обобщенная функция Релея мало отличается от (2.3.43), причем поправка может быть получена путем разложения функции Бесселя в степенной ряд. Ограничиваясь только первыми двумя членами этого разложения, получаем

. (2.3.57)

Райсовская плотность вероятности определяется двумя параметрами: дисперсией 2σ² замираний и детерминированной составляющей А₀. Часто райсовский канал характеризуют двумя другими параметрами: райсовским K-фактором, равным отношению детерминированной и флуктуирующей составляющих мощности сигнала , и средней суммарной мощностью сигнала . Формулы перехода имеют вид:

. (2.3.58)

Если K=0, то райсовская плотность вероятности переходит в релеевскую. Распределение Райса (2.3.54), представленное в параметрах К и , будет иметь вид (A>0)

. (2.3.59)