Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями

Симметричные матрицы A и F назовем конгруэнтными, если найдется невырожденная матрица P, что Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Матрицы билинейной формы в различных базисах конгруэнтны. Из теоремы Лагранжа вытекает, что симметричная квадратная матрица конгруэнтна диагональной матрице diag(1,…,1.-1,…,-1,0,…,0). Опишем алгоритм приведения симметричной квадратной матрицы F к диагональному виду элементарными преобразованиями. Отметим, если мы совершаем какие то действия со строками матрицы F, то те же самые действия надо совершить и со столбцами матрицы. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.

  1. Положим r=1.
  2. Если Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , то перейдем на шаг 4, иначе шаг 3.
  3. Положим Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , где Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Затем увеличим r на 1 и вернемся на шаг 2.
  4. Если найдется i, что Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , то положим Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru и вернемся на шаг 2. В противном случае перейдем на шаг 5.
  5. Если для всех i,j>r справедливо неравенство Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , то алгоритм работу закончил. В противном случае найдутся номера i,j, для которых Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Тогда переставим строки Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru и столбцы Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru и вернемся на шаг 2.

Легко проверить, что предложенный алгоритм построит диагональную матрицу конгруэнтную исходной матрице. Преобразованиями вида Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru можно добиться, чтобы на главной диагонали стояли только 0,1,-1. Перестановками строк и столбцов элементы матрицы, стоящие по главной диагонали, можно расположить в порядке не возрастания.

Если приписать справа единичную матрицу, то элементарные преобразования можно запомнить в ней.

Закон инерции квадратичных форм.

Теорема 4.4 Закон инерции. Для любой эрмитовой билинейной функции нормальный вид определяется единственным образом.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть найдется два базиса Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru и Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , в которых нормальный вид различный. Пусть Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru и Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru и Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Поскольку Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , то нормальный вид различен только если Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Для определенности положим Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Обозначим через W линейную оболочку векторов Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , а через U – линейную оболочку векторов Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Для не нулевого вектора Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru имеем Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru и Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , а для вектора Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru выполняются равенства Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru и Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Пересечение подпространств Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru не может содержать векторов отличных от нуля, но Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . К полученному противоречию привело допущение Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Таким образом теорема доказана.

Число положительных слагаемых в нормальном виде эрмитовой формы называется положительным индексом инерции, а число слагаемых с отрицательными коэффициентами – отрицательный индекс инерции. Индексы инерции эрмитовых форм не зависят от выбора базиса.

Теорема Якоби

Обозначим через Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru угловой минор j-го порядка матрицы F (и положим Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru ).

Теорема 4.5 Якоби. Пусть Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru (k=1,2,..,r). Существует канонический базис Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , для которого Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , при k=1,2,..,r, и Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru при k>r.

Доказательство очевидным образом повторяет Следствие 4.6.

Критерий Сильвестра.

Эрмитовая форма Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru называется положительно определенной, если для любого Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru справедливо неравенство Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru .

Теорема 4.6 Критерий Сильвестра положительной определенности. Эрмитова форма положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры (расположенные по главной диагонали) строго больше нуля.

Доказательство. Если все главные миноры F строго больше нуля, то и все угловые миноры матрицы F строго больше нуля. По теореме Якоби найдется базис, в котором эрмитова форма имеет вид Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Поскольку все коэффициенты строго больше нуля, то эрмитова форма положительно определена.

Покажем обратное. Допустим, найдется главный минор матрицы F, не больше нуля. Не нарушая общности можно считать, что это угловой минор порядка k, так как в противном случае перенумеруем переменные соответствующим образом. Далее, можно считать, что все угловые миноры до (k-1)-го порядка больше нуля. Действительно, иначе можно положить k равным меньшему значению. Положим все переменные с номером больше k равными нулю. В результате получим эрмитову форму от k переменных с матрицей Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . Угловые миноры этой матрицы до (k-1)-го порядка больше нуля, и, значит можно воспользоваться теоремой Якоби. В некотором базисе эта форма имеет вид Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru . По построению Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru , и, значит, найдется не нулевой вектор, значение эрмитовой формы Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями - student2.ru на котором не больше нуля, что противоречит ее положительной определенности. К полученному противоречию привело допущение о существовании не положительных главных миноров матрицы F. Следовательно, все главные миноры больше нуля.

Квадрики.

Наши рекомендации