Операторы в геометрических пространствах
Задача 3.Найти матрицу проецирования пространства V3 на плоскость параллельно оси
.
Решение.Базисные векторы переходят при проецировании в себя, вектор
переходит в
(нулевой вектор). Матрица оператора имеет вид:
.
Задача 4.Найти матрицу поворотапространства V3 вокруг оси на угол
.
![]() |
j |
![]() |
![]() |
![]() |












Следовательно, матрица оператора поворотаплоскости
на угол j имеет вид:
, а матрица оператора поворотапространства вокруг оси
на угол j имеет следующий вид:
.
Операторы в функциональных пространствах
Задача 5.Выбрав подходящий базис в пространстве многочленов степени не выше
, найти матрицу
оператора дифференцирования
в этом базисе.
Решение. Выберем в базис
. Т.к.
, то матрица
оператора дифференцирования в этом базисе имеет вид:
(мы ограничились, для простоты, случаем
).
Задача 6.Выбрав подходящий базис в функциональном пространстве , найти матрицу оператора
сдвига аргумента на
в этом базисе
.
Решение.Выберем в базис
. Применим оператор
к базисным векторам (функциям). Получим:
Следовательно, матрица оператора сдвига аргумента в пространстве
в базисе
имеет следующий вид:
.
Матричная запись действия оператора
Задача 7.Заданы матрица оператора
и координаты
вектора
. Найти координаты
вектора
.
Решение.Координаты вектора
определяются с помощью умножения матрицы
оператора
на столбец
из координат вектора
, то есть
.
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1.Выяснить, какие из заданных преобразований являются линейными и найти их матрицы.
1) ; 2)
;
3) ; 4)
.
2.Найти матрицы линейных преобразований пространства
1) Проецирования пространства на ось параллельно плоскости
.
2) Симметрии пространства относительно плоскости .
3) Симметрии пространства относительно оси .
4) Поворотпространства вокруг прямой на угол 120°.
3. Выбрав подходящие базисы в функциональных пространствах, найти матрицы указанных линейных операторов.
1) Оператора дифференцирования на пространстве .
2) Оператора сдвига аргумента на пространстве
.
3) Оператора дифференцирования на пространстве .
4) Оператора сдвига аргумента на пространстве
.
4. Заданы координаты вектора
и матрица
оператора
. Найти координаты
вектора
1) ;
; 2)
;
;
3) ;
; 4)
;
.
Ответы:
1.1) ; 3)
.
В задачах2) и 3) преобразования не являются линейными.
2.1) 2)
3)
4)
.
3.1)
2) 3)
4)
.
4.1) 2)
3)
4)
.
Тема 5. Определители