Максимум коэффициента направленного действия системы

Излучателей

Направленные свойства антенны, представляющей собой систему излучателей, зависят как от вида самих излучателей (их комплексных диаграмм направленности), так и от способа их питания (от амплитуд и фаз токов, возбужденных фидерной системой в излучателях). В большинстве случаев практического применения антенных решеток в системе излучателей должно быть задано такое распределение амплитуд и фаз токов, которое обеспечит максимально возможный для данной системы коэффициент направленного действия. Иногда бывает важно уменьшить уровень боковых лепестков. В этом случае отступают от амплитудно-фазового распределения, оптимального в том смысле, как мы его определили, и переходят к другим распределениям, обеспечивающим максимальную направленность при заданном уровне боковых лепестков. Нужно сказать, что амплитудно-фазовые распределения, оптимальные в смысле боковых лепестков и в смысле обеспечения максимума КНД, отличаются не так уже сильно: как правило, отличие состоит в некотором перераспределении амплитуд. Поэтому на первом этапе анализа всякой системы излучателей целесообразно искать распределение, соответствующее максимуму КНД, а затем уже находить вариации, позволяющие снизить уровень боковых лепестков.

Для антенных решеток важно, чтобы в процессе движения луча КНД антенны оставался максимальным. Поэтому условие максимума КНД в заданных направлениях является законом, по которому должны изменяться амплитуды и фазы токов в излучателях. Все рассуждения мы поведем для произвольной системы излучателей, подбирая амплитудно-фазовое распределение, обеспечивающее максимум КНД в заданном направлении.

В антенных решетках стремятся уменьшить взаимную связь между излучателями, так как она приводит к искажениям амплитудно-фазового распределения и как следствие этого к угловым ошибкам и росту бокового излучения. При анализе условий максимума КНД будем полагать, что взаимная связь между излучателями отсутствует. В действительности взаимная связь не равна нулю, поэтому при каких-то наиболее неблагоприятных условиях наличие взаимной связи может изменить результаты расчета, причем КНД системы может при этом как уменьшиться, так и возрасти.

В (3.1) диаграмма направленности системы излучателей была представлена в виде суммы диаграмм направленности отдельных излучателей. Подставим Ф(θ, φ) в виде суммы в формулу для КНД , получим

. (3.23)

Здесь, как обычно, θ₀ и φ₀ обозначают направление максимального излучения; в данном случае это – направление, в котором необходимо получить максимум КНД.

Перепишем в (3.23) квадрат модуля суммы как двойную сумму от произведения А_iА_к٭φ_i(θ,φ)φ_k٭( θ,φ). Тогда в знаменателе получим интегралы

.

Заметим, что интегралы такого вида исследовались ранее; они выражают взаимную связь между излучателями, точнее активную составляющую взаимного импеданса. На практике взаимную связь в антенных решетках стремятся всячески уменьшить. Поэтому можно считать, что рассматриваемые интегралы при k ≠ i весьма малы.

Предположим более жесткое условие:

. (3.24)

Тогда

. (3.25)

На самом деле условие (3.24) точно не выполняется. При k ≠ i некоторые интегралы могут иметь величину порядка 0,1, причем при разных комбинациях индексов i и k интегралы знакопеременны. Однако большинство интегралов при i и k, соответствующих удаленным излучателям, по модулю значительно меньше 0,1. Таким образом, в знаменателе выражения (3.25), кроме суммы модулей A_i должна стоять сумма интегралов, весьма малых по величине и, кроме того, знакопеременных. Приведенные рассуждения в большинстве случаев позволяют пренебречь этими слагаемыми, т. е., другими словами, считать, что (3.25) выполняется точно.

Заметим, что условие ортонормированности диаграмм отдельных излучателей, т.е. условие малой взаимной связи, играет решающую роль. При k≠ i интегралы в знаменателе выражения (3.23) могут быть отрицательными. Если, кроме того, они достаточно велики и не уничтожают друг друга, то D(θ₀,φ₀) может резко возрасти, то соответствует случаю, когда система излучателей приобретает свойства сверхнаправленности. Это действительно может произойти, если расстояние между излучателями таковы, что ЭДС, наведенные в каком-либо излучателе остальными излучателями системы, складываются в фазе. Заметим только, что такое синфазное сложение ЭДС может привести как к увеличению КНД (сверхнаправленность), так и к его ослаблению.

Выясним теперь условия максимума D(θ₀,φ₀). Наиболее простой способ заключается в том, что от выражения для D(θ₀,φ₀) нужно брать производные по амплитудам тока A_i и приравнивать их нулю, находя таким образом частичные максимумы. Повторив эту операцию с током в каждом излучателе, можно получить условие полного максимума КНД, соответствующего совпадению условий всех частичных максимумов. Такой прием вычисления максимума КНД был использован Л.Д. Бахрахом [19] применительно к системе с непрерывным распределением излучающего поля.

Вычисление производных от D(θ₀,φ₀) осложняется тем, что A_i – комплексная величина. Поэтому дифференцировать D(θ₀,φ₀) нужно независимо по модулю и по аргументу A_i и каждый раз производную приравнивать нулю. Таким образом, при дифференцировании нужно учитывать, что каждая амплитуда тока A_i – это фактически два числа. Поэтому нам нужно порознь подобрать два числа: модуль и аргумент или вещественную и мнимую части. Однако удобнее будет подобрать отдельно A_i и A*_i , которые также можно рассматривать как две независимые величины.

Действительно,

.

Поэтому A_i, A*_i и ReА, ImA – пары чисел, характеризующие комплексную величину A_i.

Продифференцируем D(θ₀,φ₀) по A_i и приравняв нулю, получим

. (3.26)

Аналогично, продифференцировав по A*_i , найдем

. (3.27)

Введем обозначение

, (3.28)

где С – константа, не зависящая от индекса суммирования.

Используя обозначение (3.28), получим, что (3.27) и (3.26) эквивалентны следующему простому равенству:

. (3.29)

Таким образом, нужное соотношение найдено. Максимальный в заданном направлении КНД системы излучателей имеет место в том случае, когда комплексные амплитуды токов в излучателях пропорциональны сопряженным значениям диаграмм направленности излучателей в этом же направлении. Строго говоря, приведенный вывод с математической точки зрения не закончен: равенство нулю может означать как максимум, так и минимум. Можно было бы попытаться взять еще вторую производную. Но мы применим другой способ доказательства, при котором не понадобиться вычисление производных. Способ доказательства, данный М.И. Конторовичем и В.Ю. Петрунькиным [20], приведем в несколько измененном виде.

Пусть

. (3.30)

Подставив A_i,0 в выражение для КНД (3.25) и получим

. (3.31)

Покажем теперь, что эта величина КНД максимальна. Составим разность КНД в виде (3.31) при наборе A_i,₀ , заданном выражением (3.30), и в виде (3.25) при произвольных A_i. Приводя к общему знаменателю, имеем

.(3.32)

Используем неравенство Коши – Буняковского

. (3.33)

Из него непосредственно следует, что,

. (3.34)

Это и доказывает, что экстремум, обеспечиваемый условием (3.30), является максимумом.

Приведенный выше вывод с вычислением производных более нагляден и совпадает по смыслу с экспериментальным процессом настройки антенны. В то же время построение с использованием неравенства Коши - Буняковского более строго. Кроме того, полученные выражения в этом случае содержат в себе составляющие, пропорциональные мощности, что позволяет придать им некоторый физический смысл.

Покажем, что при выполнении условий (3.24) и (3.30) максимальный КНД системы излучателей, между которыми отсутствует взаимная связь, равен сумме КНД ее отдельных излучателей в заданном направлении, т.е.:

, (3.35)

где (θ₀,φ₀) - коэффициент направленного действия i-го излучателя в направлении θ₀,φ₀ .

Действительно, из определения КНД следует, что

. (3.36)

Благодаря тому, что диаграммы направленности отдельных излучателей нормированы, в знаменателе этого выражения стоит единица. Сопоставление (3.36) и (3.31) показывает, что выражение (3.36) правильно.

Таким образом, в дальнейшем системы излучателей будут анализироваться, полагая, что распределение амплитуд и фаз токов в них соответствует условию (3.30). При отсутствии взаимной связи (точнее при r_ik = 0) это условие обеспечивает абсолютный максимум КНД системы. В случае, когда взаимная связь имеет место, условие максимума КНД отличается от условия (3.30), причем величина максимального КНД в заданном направлении так же может измениться. Однако поскольку величина взаимной связи невелика, будем считать, что условие (3.30) дает исходное амплитудно-фазовое распределение, а влияние взаимной связи будем учитывать при расчете искажений формы диаграммы направленности и закона движения главного максимума. Физический смысл условия (3.30) означает, что доля мощности, которую следует подвести к данному излучателю системы, пропорциональна интенсивности его излучения в заданном направлении.