H – критерий Крускала-Уоллиса

U – критерий Манна-Уитни

1. Статистические гипотезы:

: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

1. Вычислим эмпирическое значение критерия:
1. проранжировать все значения испытуемых, как если бы они принадлежали одной выборке, всего должно получиться столько рангов, сколько элементов в двух выборках вместе;
2. подсчитать сумму рангов в каждой из групп по отдельности, выполнить проверку ранжирования;
3. определить большую из ранговых сумм ;
4. определить значение , где – число испытуемых в выборке 1 и 2 соответственно, – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.
2. По заданному уровню значимости и объемам выборок и определить критические значения .
3. Правило вывода: если , то принимается гипотеза ; если , то отвергается гипотеза .

Пример. Были обследованы студенты физического и психологического факультетов по уровню невербального интеллекта. Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Студенты-физики	Студенты-психологи

Проранжируем выборки.

Студенты-физики	Студенты-психологи
	4,5		4,5
	6,5		6,5
	11,5		11,5
	11,5
	11,5
	15,5		15,5
	20,5
	20,5

Общая сумма рангов: . Расчетная сумма равна .

Сформулируем гипотезы:

: Уровень признака в группе студентов-физиков не ниже уровня признака в группе студентов-психологов.

: Уровень признака в группе студентов-физиков ниже уровня признака в группе студентов-психологов.

Тогда , .

Вычислим эмпирическое значение критерия .

Найдем критическое значение: .

Так как , то принимается гипотеза . Таким образом, группы студентов-физиков и студентов-психологов можно считать равными.

H – критерий Крускала-Уоллиса

1. Статистические гипотезы:

: Между выборками существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.

: Между выборками существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.

1. Вычислим эмпирическое значение критерия:
1. проранжировать все значения испытуемых, как если бы они принадлежали одной выборке, всего должно получиться столько рангов, сколько элементов во всех выборках вместе;
2. подсчитать сумму рангов в каждой из групп по отдельности, выполнить проверку ранжирования;
3. Определить значение , где – общее число испытуемых, – ранговые суммы в каждой группе, – количество испытуемых в группе.
2. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число отдельных групп, определить критические значения .
3. Правило вывода: если , то гипотеза отвергается; если , то принимается.

Пример. При проведении эксперимента по исследованию интеллектуальной настойчивости испытуемым предъявлялись неразрешимые анаграммы. Исследованию подвергались четыре группы испытуемых, каждой группе предъявлялись разные анаграммы. Необходимо проверить, что различие во времени решения анаграмм не связана с предложенной задачей.

№	Группа 1	Группа 2	Группа 3	Группа 4

Сформулируем гипотезы:

: 4 группы испытуемых не различаются по длительности попыток их разрешения.

: 4 группы испытуемых различаются по длительности попыток их разрешения.

Вычислим эмпирическое значение критерия.

Заполним таблицу для ранжирования

№	Группа 1	Группа 2	Группа 3	Группа 4
Данные	Ранг	Данные	Ранг	Данные	Ранг	Данные	Ранг
		3,5		3,5
Сумма		38,5		82,5

Сумма рангов равна , контрольная сумма .

Вычислим критическое значение .

Поскольку , то принимается нулевая гипотеза. Таким образом, группы можно считать равными.

T-критерий Вилкоксона

1. Статистические гипотезы:

: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

1. Вычислим эмпирическое значение критерия:
1. исключить испытуемых с одинаковыми значениями;
2. вычислить разность между индивидуальными значениями в втором и первом замерах («после» – «до»), определить, что будет считаться типичным сдвигом и сформулировать соответствующие гипотезы;
3. найти абсолютные величины разностей;
4. проранжировать абсолютные величины разностей, проверить правильность ранжирования;
5. отметить ранги, соответствующие сдвигам в «нетипичном» направлении;
6. подсчитать сумму таких рангов по формуле: , где – ранговые значения сдвигов с более редким знаком;
2. По данному объему выборки определим критические значения с помощью специальных таблиц.
3. Правило вывода: если , то гипотеза отвергается; в противном случае – гипотеза принимается.

Пример.В выборке курсантов измерялась способность к удержанию физического усилия до обращения к идеалу и после.

№	До обращения к идеалу	После обращения к идеалу
Σ

Вычислим разности значений и найдем их абсолютные величины. Результаты внесем в таблицу.

№	До обращения к идеалу	После обращения к идеалу	Разность	Абсолютные значения разности	Ранги
			-39
			-27
			+3
			-19
			-38		9,5
			-8
			+4		2,5
			-4		2,5
			-38		9,5
			+25
			-18
Σ

Сумма всех рангов равна 66. Контрольная сумма .

Выделим нетипичные (положительные) сдвиги цветом. Сумма соответствующих рангов равна .

Найдем критические значения при : .

Поскольку при отвергаем гипотезу , а при принимаем гипотезу , то однозначного ответа дать не возможно.

Рассмотрим уровень значимость . Тогда отвергается гипотеза . Изменения показателей в группе осуществляются в сторону уменьшения физического волевого усилия.

Критерий Фридмана

1. Статистические гипотезы:

: Между выборками существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.

: Между выборками существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.

1. Вычисление эмпирического значения критерия:
1. проранжировать индивидуальные значения каждого испытуемого, полученные им в первом, втором и.д. измерениях;
2. просуммировать ранги по измерениям, проверить правильность ранжирования;
3. определить эмпирическое значение , где – число измерений, – число испытуемых, – сумма рангов по каждому из измерений.
2. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы определить критическое значение .
3. Правило вывода: если гипотеза отклоняется, если гипотеза принимается.

Пример. При исследовании интеллектуальной настойчивости измерялось время, которое испытуемые потратили на выполнение трех типов анаграмм.

№	Анаграмма 1	Анаграмма 2	Анаграмма 3

Сформулируем гипотезы:

: Различия во времени решения анаграмм являются случайными.

: Различия во времени решения анаграмм являются неслучайными.

Построим расчетную таблицу

№	Анаграмма 1	Анаграмма 2	Анаграмма 3
Данные	Ранг	Данные	Ранг	Данные	Ранг
∑

Вычислим эмпирическое значение критерия .

Критическое значение составляет .

Поскольку то принимается гипотеза . Группы можно считать различными.